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GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
MATEMÁTICA II
Cátedra: SANTA MARIA

TRABAJO PRACTICO
REPASO, OPTIMIZACIÓN, INTEGRALES

PRÁCTICA 14:
Los ejercicios 1. al 6. Son de repaso de conocimientos estudiados en el CBC

1. Calcular
x
a) lím
x →4 x + 1
1-x
b) lím
x → −1 x + 1
x4 − 1
c) lím
x →1 x − 1

d) lím
x →4

x −2
x-4

4 x3 + x-1
e) lím
x →∞ 2 x 3 + x 2
x + x2 − 2
f) lím
x→∞2x 4 − x + 1
R.: a) 4/5; b) ∞ ; c) 4; d) ¼ ; e) 2 ; f) 0

2. Derivar las siguientes funciones:
a) y = (x2 − 7x)(x 3 + 4x + 2)

R: y’ = 5x4 – 28x3 + 12x2 + 4x – 14

b) y = senx.cos x

R: y’ = cos2x – sen2x

c) y = (3x − 1)4 (−2x + 9)5
senx
d) y = 2
x
e) y = cos4 x

R.: y’ = 12( 3x – 1 )3( -2x + 9 )5 – 10( 3x - 1 )4( -2x + 9 )4
R: y’ = ( x cosx – 2 senx )/ x3
R: y’ = - 4 cos3xsenx

f) y = 3x 3 + 2x − 5 + x

R:

y' =

g) y = ln(tg2x)

R:

y' =

2
9x + 2
3
2 3x + 2x − 5
2
2 sec 2x

+1

tg2x
2

h) y =

1−x
x + ex

i) y = x + x 2 + 1

tgx
j) y =
x
x
k) y = 2
x +1
sen5x
l) y =
cos6x

2 MATEMÁTICA II.

x
2
x
−2x(x + e ) − (1 − x )(1 + e )
x 2
(x + e )

R:

y' =

R:

y' = 1 +

R:
R:
R:

x
2

x +1
2
x sec x −tgx
y' =
2
x
2
−x + 1
y' = 2
2
(x + 1)

y' =

5 cos 5x. cos 6x + 6sen5x.sen6x
2
cos 6x

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3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2 x2 + 3 que sea paralela a la recta
8 x – y + 3 = 0.
R: y = 8x – 5
4. Obtener la ecuación de cada recta tangente a la curva y = x3 – 3 x que seaperpendicular a la
recta 2 x + 18 y – 9 = 0.
R .: y = 9x + 16 ; y = 9x – 16
5. Hallar los máximos y mínimos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las
siguientes funciones:
a) y =

(x + 1)2
(x − 1)3

R.: Max (-1,0); Mín (-5, -2/27);Æ (-5,-1); ∞ (¶,-5) »(-1,1)» (1,¶)
b) y = x 4 − 4x 3 + 4x 2
R.: Mín(0,0); Mín(2,0) ; Max(1,1); Decrece(-∞, 0) » (1, 2); Crece(0, 1) » (2,+ ∞ )c) y =

x
lnx
R.: Mín(2,2); Crece(2, ∞ ); Decrece (0,1) ∪ (1,2)

d) y = ex

2

R.: Mín(0,1) ; Decrece( −∞ , 0) ; Crece(0, ∞ )
6. Calcular dos números positivos x e y tales que:
a)
b)
c)
d)

Su producto sea 192 y la suma mínima.
Su producto 192 y la suma del primero más el triplo del segundo mínima.
El segundo número es el inverso del primero y la suma mínima.
La suma delprimer número más el doble del segundo es 100, y el producto máximo.

7. Calcular la base y la altura de un rectángulo de Área 64cm2 y perímetro mínimo.
8. La planta de un edificio es de forma rectangular y tiene 100m de perímetro. Averiguar las
dimensiones de la planta para que el área de la misma sea máxima. ¿Cuál es esa área?
9.

Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje y, y los otrosvértices sobre la parábola x = 9 - y2
con x ≥ 0. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que tiene mayor área?
R: b = 6; h = 2 3

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10. De todos los prismas rectos de base cuadrada y tales que el perímetro de una cara lateral es
30cm. Hallar las dimensiones del que tiene volumen máximo.
11.Determinar las dimensiones de un recipiente cilíndrico de volumen 16pcm3 para que el área
total sea mínima. Siendo At = 2p r h +2p r2 y V = p r2 h = 16pcm3
12. La deflexión de una viga de longitud L es: D(x) = 2x4 – 5Lx3 + 3L2x2 , donde x denota la distancia
a un extremo de la viga. Calcular el valor de x que produce la máxima deflexión.
R: x = 0.578L
13. En la ribera de un río de 1km de ancho hayuna planta eléctrica, en la otra ribera, a L km
corriente arriba hay una fábrica. Tender cables por tierra cuesta $3 por m. y hacerlo bajo el
agua cuesta $5 por m. ¿Cuál es la forma más económica de tender un cable desde la planta a
la fábrica.

R: x = ¾
14. Una ventana cuya forma es la de la figura, tiene 10 m de perímetro. Calcular sus dimensiones
para que la entrada de luz sea máxima,...