Espacio

Espacios generados, dependencia lineal y bases
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM
a
17 de junio de 2008

´
Indice
16.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
16.2. Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3. Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales .
16.4. Reducci´n del conjunto generador . . . . . . . .
o
16.5. Dependencia Lineal . . . . .. . . . . . . . . . .
16.6. Pruebas de dependencia lineal . . . . . . . . . .
16.7. Unicidad de la combinaci´n lineal . . . . . . . .
o
16.8. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9. Todo espacio tiene base . . . . . . . . . . . . .
16.10. nicidad de la representaci´n . . . . . . . . . .
U
o

16.1.

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7
7
8
9
9

Introducci´n
o

Nuestro inter´s consiste en reformular las definiciones de dependencia lineal, independencia lineal y espacio
e
generado que ya se ten´ para Rn pero en el contexto general de los espacios vectoriales. Es de notar que
ıan
en las definiciones dadas s´lo se hac´ referencia a a suma de vectores, multiplicaci´n de un vector por un
o
ıa
o
escalar,a combinaci´n lineal y al vector cero. Todo esto existe en el espacio vectorial en general. Nuestra
o
meta consiste en decir qu´ cosas pueden permanecer y qu´ cosas pueden cambiar en un espacio generado. El
e
e
concepto te´ricamente m´s importante es el de base de un espacio vectorial. Las demostraciones de cada uno
o
a
de los resultados son id´nticas a las correspondientes para Rn , porello no se incluir´n.
e
a

16.2.

Espacio Generado

Definici´n 16.1
o
Sea V un espacio vectorial, y v1 , v2 , . . . ,vk vectores de V . El conjunto formado por todas las posibles
combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , . . . ,vk se llama el espacio generado por v1 , v2 , . . . ,vk . Este
conjunto se representa por
Gen {v1 , v2 , . . . , vk }
Si V = Gen {v1 , v2 , . . . , vk} diremos que {v1 , v2 , . . . , vk } genera a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto
generador de V .
Ejemplo 16.1
Indique si la matriz
A=

−1
0
0 −2

pertenece al espacio generado por las matrices:
A1 =

2 −2
−3
0

, A2 =

−4 4
6 0

y A3 =

2
1
0 −2

Soluci´n
o
Buscamos saber si existen constantes c1 , c2 y c3 tales que:
A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3
Esdecir,
−1
0
0 −2

2 −2
−3
0

= c1

+ c2

−4 4
6 0

+ c3

2
1
0 −2

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de las matrices en el lado izquierdo obtenemos:
−1
0
0 −2

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 −2 c1 + 4 c2 + 1 c3
−3 c1 + 6 c2 + 0 c3
0 c1 + 0 c2 − 2 c3

=

Si se igualan elementos correspondientes de estas matrices se obtiene:
2 c1
−2 c1
−3 c1
0 c1

−
+
+
+4 c2
4 c2
6 c2
0 c2

+
+
+
−

2 c3
1 c3
0 c3
2 c3

= −1
=
0
=
0
= −2

Formando la matriz aumentada y aplicando Gauss-Jordan obtenemos:



2 −4 −2 −1
1 −2 0
 −2
 0
4
1
0 1
0 

→
 −3
 0
6
0
0 
0 0
0
0 −2 −2
0
0 0


0
0 

1 
0

Debido al pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsistente. Como el sistema es...