Espacios afines euclideos

ESPACIOS AFINES
EUCLÍDEOS

Espacios afines euclídeos
Definición
Se llama Espacio Afín Euclídeo a todo espacio afín cuyo espacio vectorial subyacente es
un espacio vectorial euclídeo.
Corolario
R2 y R3 son espacios afines euclídeos
Definición
Una afinidad f entre dos espacios afines euclídeos E, E’ se llama isometría si conserva la
distancia entre puntos, esto es, P, Q  E  d ( f (P), f (Q))  d ( P, Q)

Ejemplos
• En el espacio, una traslación es isometría

P  ( x, y, z)  f ( P)  ( x  v1, y  v2 , z  v3 )

    v1   1 0 0  x 
     v    0 1 0  y 
   2 
 
    v   0 0 1  z 
   3 
 

Espacios afines euclídeos
• En el plano, un giro alrededor de un punto es una isometría

    Cos 
     Sin
  Sin  x 
Cos   y 
 

• En el espacio, la proyección vertical NO es isometría, aunque es afinidad

P  ( x, y, z)  f ( P)  ( x, y,0)

    0   1 0 0  x 
     0    0 1 0  y 
    
 
    0   0 0 0  z 
    
 
La proyección es una aplicación nihilpotente, esto es f2 = f

Espacios afines euclídeos
• En el plano, la simetríarespecto al origen es una isometría

P  ( x, y)  f ( P)  ( x,  y)

    0   1 0  x 
     0    0 1 y 
    
 
• En el plano, la simetría respecto al eje OY es una isometría

P  ( x, y)  f ( P)  ( x, y)

    0   1 0  x 
     0    0 1  y 
    
 
La composición de una simetría respecto a un eje con una
simetría respecto alotro, da una simetría respecto al origen
•

Espacios afines euclídeos
• En el espacio, la simetría respecto al origen es una isometría

P  ( x, y, z)  f ( P)  ( x,  y,  z)
    0   1 0 0  x 
     0    0 1 0  y 
    
 
    0   0 0 1 z 
    
 

• En el espacio, la simetría respecto al eje OZ es una isometría

P  ( x, y, z)  f ( P) ( x,  y, z)
    0   1 0 0  x 
     0    0 1 0  y 
    
 
    0   0 0 1  z 
    
 

Espacios afines euclídeos
• En el espacio, la simetría respecto del plano z=0 es una isometría

P  ( x, y, z)  f ( P)  ( x, y,  z)

    0   1 0 0  x 
     0    0 1 0  y 
    
 
    0   0 0 1 z 
     

• La composición de dos simetrías respecto a planos coordenados diferentes es la simetría
respecto al eje que determinan.
• La composición de dos simetrías respecto a dos ejes coordenados distintos es la simetría
central respecto al origen de coordenadas.
• La composición de una simetría consigo misma es la identidad

Espacios afines euclídeos
• En el espacio, un giro alrededordel eje OZ es una isometría

P  ( x, y, z)  f ( P)  ( ,  , z)

    0   Cos 
     0    Sin
    
   0  0
    

    Cos 
     Sin
  

Sin  x 
Cos   y 
 

Sin 0  x 
 y 
Cos  0  
0
1  z 
 

Espacios afines euclídeos
• En el plano la homotecia de centro el origen y razón 3 no es isometría, pero esafinidad que transforma triángulos en triángulos semejantes

Definición
Las transformaciones afines que mantienen la proporción de distancias se
llaman semejanzas

k  R



P, Q  E  d ( f ( P), f (Q))  k d ( P, Q)

Espacios afines euclídeos
Definición
Sea E un espacio afín euclídeo. Se dice que una referencia R = {P0,P1,P2,…,Pn} es



ortonormal si la base asociada P P ,P P , P P ,....., P P
0 1 0 2
0 3
0 n

 es ortonormal, esto es, sus

vectores tienen módulo unidad y son perpendiculares dos a dos.
Teorema
Una aplicación afín es una isometría si y sólo si la imagen de cualquier referencia
ortonormal es una referencia ortonormal.
Definición
La transformación lineal subyacente de una isometría se llama transformación ortogonal
Teorema
Sea f un...