Espacios Con Producto Interno

Se tienen las siguientes fórmulas para determinar an y bn:

an bn

2 4 2 4

4 0 4 0

f t cos n 24 t dt f t sin n 24 t dt

Dada la función que se plantea en el problema, se puede afirmar quela integral se divide de la siguiente manera:
an bn
1 2 1 2
1 2

0
1 2

f t cos n 2 t dt f t sin n 2 t dt

2
1 2

f t cos n 2 t dt f t sin n 2 t dt
7 2

7 2

2

f t cos n 2 t dt4
7 2

4
7 2

f t cos n 2 t dt

2
1 2

0

2

f t sin n 2 t dt

f t sin n 2 t dt

La función f(t) entre 0.5 y 3.5 tiene el valor de 0, por lo tanto:

an bn

1 2 1 2

1 2

01 2

cos n 2 t dt sin n 2 t dt

4
7 2

cos n 2 t dt sin n 2 t dt

4
7 2

0

Se integra y se consigue lo siguiente:

an bn

1 2 1 2

2 n

sin n 1 4
2 n

2 n

sin n 7 4
2 n 2n

cos n 1 4

cos 2 n

2 n

cos n 7 4

En an, donde se evalúan las integrales en 0 y 4, el valor del seno siempre es 0, por tanto ya no es necesario incluirlos, así mismo en bn, donde seevalúa el 0, el valor del coseno siempre es 1. Se calcularon los valores de a y b con varias n diferentes y se observó el siguiente patrón: Para toda n:

bn

0

Cuando n es par y no es múltiplo de4:

an

1 n/2

2

Cuando n es múltiplo de 4:

an

0

Cuando n es non:

an

2 n

Cada que la n pasa un múltiplo de 4, el signo de los siguientes tres cambia, las primeras tres nson positivas, pasa el 4 y las siguientes tres n son negativas, pasa el 8 y las siguientes tres n son positivas y así sucesivamente. Se tiene la siguiente fórmula para graficar la proyección de lafunción:

x t

1 2

a0

n 1

a n cos n 2 t

b n sin n 2 t

Sabemos que todas las b valen 0, por tanto:

x t

1 2

a0

n 1

a n cos n 2 t

Se gráfica la proyección con intervalode tiempo = 4, con 1, 10 y 25 términos, en la sumatoria en vez del infinito, se sustituyen 1, 10 y 25 respectivamente, se obtiene lo siguiente:

3

1 término:

4

10 términos:

5

25...