Espacios de Banach

´
MATEMATICA
APLICADA II

Segundo cuatrimestre 2003

Licenciatura en F´ısica, Universidad Nacional de Rosario

Espacios de Banach1
1.

Introducci´
on

Frecuentemente estamos interesados en ”qu´e tan grande”es una funci´on. Esto conduce naturalmente a la noci´on de espacios funcionales normados. Hay muchas maneras de definir el tama˜
no
de una funci´on. Supongamos que R(t) es lacantidad de lluvia que cae medida en cent´ımetros por
hora. Si uno es un chacarero estar´a probablemente preocupado por el total de lluvia que cae. Una
gran lluvia tiene una gran d´ıas |R(t)|dt. Si uno es un ingeniero estar´a preocupado por la capacidad
del sistema de desague pluvial de una ciudad para drenar el agua de lluvia, uno estar´a interesado
en el m´aximo valor de R(t), y por lo tanto,una gran lluvia ser´a una con un gran sup |R(t)|.
Vimos anteriormente que un espacio m´etrico no tiene ninguna
clase de estructura algebraica asociada. En muchas aplicaciones,
sin embargo, el espacio m´etrico tiene una m´etrica derivada de una
norma que da el ”tama˜
no”de un vector. Tales espacios se llaman
espaciones lineales normados. Es muy importante y natural trabajar en espacioscompletos: tratar de hacer an´alisis funcional en
espacios no completos es como tratar de hacer an´alisis elemental
sobre los racionales. Cuando el espacio normado es completo se lo
llama espacio de Banach. La teor´ıa de estos espacios fue completada por el matem´atico polaco Stefan Banach en 1932.

2.

Espacios lineales normados

Una norma en un espacio lineal (o vectorial) X es una funci´on .: X → R con las siguientes
propiedades:
(a) x ≥ 0, para todo x ∈ X (no negatividad);
(b) λx = |λ| x , para todo x ∈ X y λ ∈ R (´o C) (homogeneidad);
(c) x + y ≤ x + y para todos x, y ∈ X (desigualdad triangular);
(d) x = 0 implica x = 0 (positividad estricta).
Un espacio lineal normado (X, . ) es un espacio lineal X equipado con una norma . .
Un espacio normado es un espacio m´etricorespecto a la m´etrica d derivada de su norma, donde
d(x, y) = x − y .

3.

Espacios de Banach

Definici´
on: Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es un espacio m´etrico
completo respecto a la m´etrica derivada de su norma.
Ejemplos de espacios de Banach
1.

Para 1 ≤ p < ∞, definimos la norma p en Rn mediante
x

1 Notas

p

1/p

= (|x1 |p + |x2 |p + · · · + |xn|p )

preparadas por Luis O. Manuel, E-mail: manuel@ifir.edu.ar

1

,

donde x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn .
Para p = ∞ definimos la norma del m´aximo mediante
x

∞

= m´ax |xi |.
1≤i≤n

Rn equipado con la norma p es un espacio de Banach de dimensi´on finita para 1 ≤ p ≤ ∞.
2.

El espacio C([a, b]) de funciones continuas reales (o complejas) definidas en [a, b] con lanorma
del supremo es un espacio de Banach. M´as generalmente, el espacio C(K) de funciones
continuas en un espacio m´etrico compacto K equipado con la norma del supremo es un
espacio de Banach.

3.

Para 1 ≤ p < ∞, el espacio de sucesiones lp = {x = {xn }n∈N :
norma p
p

|xn |p < ∞} con la

1/p

∞

x

∞
n=1

|xn |p

=

.

n=1

Para p = ∞, el espacio de sucesionesacotadas, l∞ , con
x

= sup |xn |

∞

n∈N

. lp es un espacio de Banach de infinitas dimensiones para 1 ≤ p ≤ ∞.
4.

Lp ([a, b]), el espacio de funciones integrables de potencia p de Lebesgue en el intervalo [a, b]
con la norma
1/p

b

f

p

=

p

|f (x)| dx
a

Para p = ∞ el espacio L∞ ([a, b]) consiste de todas las funciones medibles seg´
un Lebesgue
f : [a, b] → R tal queson esencialmente acotadas en [a, b], es decir, que f es acotada en [a, b]
excepto posiblemente en un subconjunto de medida nula. La norma en L∞ ([a, b]) es la norma
del supremo esencial
f

∞

= inf{M : |f (x)| ≤ M c.t.p. en [a, b]}.

Los espacios Lp ([a, b]) son de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞.
Un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach es un espacio de Banach, ya que un...