Espacios de Hillbert

El Espacio de Hilbert
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con producto interno que es completo con respecto a la norma dada por el producto interno.
También puede definirse como unespacio vectorial infinitamente grande. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto de series de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación deFourier, y son de importancia crucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica. Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudian dentro del análisis funcional.
Los espacios deproducto interior dicen que cada producto interior  en un espacio vectorial H, puede ser real o complejo, dando lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

H es un espacio de Hilbert sies completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa que cualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que la norma de lasdiferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero no viceversa).
Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo conel producto escalar ordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensión finita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita (porejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, los ejemplos infinito-dimensionales tienen muchos más usos. Estos usos incluyen:
La teoría de las representaciones del grupo unitarias.
La teoría deprocesos estocásticos cuadrado integrables.
La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulaciones del problema de Dirichlet.
Análisis espectral de funciones,incluyendo teorías de wavelets.
Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.
El producto interior permite que uno adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico...