Espacios_generados_dependencia_lineal_y_bases

Espacios generados, dependencia lineal y bases
Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM
17 de junio de 2008

´Indice
16.1. Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2. Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3. Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales .
16.4. Reducci´
on del conjunto generador . . . . . . . .
16.5. Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . .. . .
16.6. Pruebas de dependencia lineal . . . . . . . . . .
16.7. Unicidad de la combinaci´
on lineal . . . . . . . .
16.8. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9. Todo espacio tiene base . . . . . . . . . . . . .
16.10.Unicidad de la representaci´on . . . . . . . . . .

16.1.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
..
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
4
5
6
7
7
8
9
9

Introducci´
on

Nuestro inter´es consiste en reformular las definiciones de dependencia lineal, independencia lineal y espacio
generado que ya se ten´ıan para Rn pero en el contexto general de los espacios vectoriales. Es de notar que
en las definiciones dadas s´olo se hac´ıa referencia a a suma de vectores,multiplicaci´
on de un vector por un
escalar, a combinaci´
on lineal y al vector cero. Todo esto existe en el espacio vectorial en general. Nuestra
meta consiste en decir qu´e cosas pueden permanecer y qu´e cosas pueden cambiar en un espacio generado. El
concepto te´
oricamente m´
as importante es el de base de un espacio vectorial. Las demostraciones de cada uno
de los resultados son id´enticas alas correspondientes para Rn , por ello no se incluir´
an.

16.2.

Espacio Generado

Definici´
on 16.1
Sea V un espacio vectorial, y v1 , v2 , . . . ,vk vectores de V . El conjunto formado por todas las posibles
combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , . . . ,vk se llama el espacio generado por v1 , v2 , . . . ,vk . Este
conjunto se representa por
Gen {v1 , v2 , . . . , vk }
Si V = Gen {v1, v2 , . . . , vk } diremos que {v1 , v2 , . . . , vk } genera a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto
generador de V .
Ejemplo 16.1
Indique si la matriz
A=

−1
0
0 −2

pertenece al espacio generado por las matrices:
A1 =

2 −2
−3
0

, A2 =

−4 4
6 0

y A3 =

2
1
0 −2

Soluci´
on
Buscamos saber si existen constantes c1 , c2 y c3 tales que:
A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3
Es decir,
−1
0
0 −22 −2
−3
0

= c1

+ c2

−4 4
6 0

+ c3

2
1
0 −2

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de las matrices en el lado izquierdo obtenemos:
−1
0
0 −2

2 c1 − 4 c2 + 2 c3 −2 c1 + 4 c2 + 1 c3
−3 c1 + 6 c2 + 0 c3
0 c1 + 0 c2 − 2 c3

=

Si se igualan elementos correspondientes de estas matrices se obtiene:
2 c1
−2 c1
−3 c1
0 c1

−
+
+
+

4 c2
4 c2
6 c2
0 c2

+
+
+
−

2 c3
1 c3
0 c3
2 c3

= −1
=0
=
0
= −2

Formando la matriz aumentada y aplicando Gauss-Jordan obtenemos:



2 −4 −2 −1
1 −2 0
 −2

 0
4
1
0 1
0

→
 −3
 0
6
0
0 
0 0
0
0 −2 −2
0
0 0


0
0 

1 
0

Debido al pivote en la columna de las constantes, el sistema es inconsistente. Como el sistema es inconsistente,
no existen c1 , c2 y c3 que cumplen:
A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3
Por tanto, A no pertence al espacioGen{A1 , A2 , A3 } .
Observaci´
on
Es importante observar la relaci´on entre
−1
0
0 −2

= c1

2 −2
−3
0

+ c2

−4 4
6 0

+ c3

2
1
0 −2

y la matriz aumentada:



2 −4 −2 −1
 −2
4
1
0 


 −3
6
0
0 
0
0 −2 −2
El efecto final es como si las matrices se convirtieran en un vector columna. El proceso de conversi´on consiste
en acomodar en una gran columna todos y cada uno de los renglones. Esto...