Espacios Generados(Álgebra)

Espacios generados, dependencia lineal y bases
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM a 14 de enero de 2011

´ Indice
14.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 14.2. Espacio Generado . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Generadores Conocidos de los Espacios Vectoriales . 14.4. Reducci´n del conjunto generador . . . . . . . . o 14.5. Dependencia Lineal . . . . . . . . .. . . . . . . 14.6. Pruebas de dependencia lineal . . . . . . . . . . 14.7. Unicidad de la combinaci´n lineal . . . . . . . . o 14.8. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.9. Todo espacio tiene base . . . . . . . . . . . . . 14.10. nicidad de la representaci´n . . . . . . . . . . U o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 4 5 6 7 7 7 8 9

14.1.

Introducci´n o

Nuestro inter´s consiste en reformular las definiciones de dependencia lineal, independencia lineal y espacio e generado que ya se ten´ para Rn pero en el contexto general de los espacios vectoriales. Es de notar que en ıan las definiciones dadas s´lo se hac´ referencia a suma de vectores, multiplicaci´n deun vector por un escalar, o ıa o a combinaci´n lineal y al vector cero. Todo esto existe en el espacio vectorial en general. o Las demostraciones de cada uno de los resultados son id´nticas a las correspondientes para Rn , por ello no e se incluir´n. a

14.2.

Espacio Generado

Definici´n 14.1 o Sea V un espacio vectorial, y v1 , v2 , . . . ,vk vectores de V . El conjunto formado por todaslas posibles combinaciones lineales de los vectores v1 , v2 , . . . ,vk se llama el espacio generado por v1 , v2 , . . . ,vk . Este conjunto se representa por Gen {v1 , v2 , . . . , vk } Si V = Gen {v1 , v2 , . . . , vk } diremos que {v1 , v2 , . . . , vk } genera a V y que {v1 , v2 , . . . , vk } es un conjunto generador de V . Ejemplo 14.1 Indique si la matriz A= pertenece al espacio generado porlas matrices: A1 = 2 −2 −3 0 , A2 = −4 4 6 0 y A3 = 2 1 0 −2 −1 0 0 −2

Soluci´n o Buscamos saber si existen constantes c1 , c2 y c3 tales que: A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 Es decir, −1 0 0 −2 = c1 2 −2 −3 0 + c2 −4 4 6 0 + c3 2 1 0 −2

Si se efectua cada producto y se realiza la suma de las matrices en el lado izquierdo obtenemos: −1 0 0 −2 = 2 c1 − 4 c2 + 2 c3 −2 c1 + 4 c2 + 1 c3 −3 c1 + 6 c2+ 0 c3 0 c1 + 0 c2 − 2 c3

Si se igualan elementos correspondientes de estas matrices se obtiene: 2 c1 −2 c1 −3 c1 0 c1 − + + + 4 c2 4 c2 6 c2 0 c2 + + + − 2 c3 1 c3 0 c3 2 c3 = −1 = 0 = 0 = −2

Formando la matriz aumentada y aplicando Gauss-Jordan obtenemos:    2 −4 −2 −1 1 −2 0  −2  0 4 1 0 1 0   →  −3  0 6 0 0  0 0 0 0 −2 −2 0 0 0

 0 0   1  0

Debido al pivote en lacolumna de las constantes, el sistema es inconsistente. Como el sistema es inconsistente, no existen c1 , c2 y c3 que cumplen: A = c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 Por tanto, A no pertence al espacio Gen{A1 , A2 , A3 } . Observaci´n o Es importante observar la relaci´n entre o −1 0 0 −2 y la matriz aumentada:   2 −4 −2 −1  −2 4 1 0     −3 6 0 0  0 0 −2 −2 El efecto final es como si las matrices seconvirtieran en un vector columna. El proceso de conversi´n consiste o en acomodar en una gran columna todos y cada uno de los renglones. Esto consiste en un proceso de zig-zag sobre los renglones de la matriz. A este proceso de convertir una matriz en un vector columna lo llamaremos vectorizaci´n de una matriz. o Ejemplo 14.2 Indique si el polinomio p(x) = 1 − 2 x − x2 − 19/4 x3 = c1 2 −2 −3 0 + c2...