Espacios metricos

Ejercicios Capitulo 1. Espacios Metricos.

1
1.0.1

1.1 Espacios Metricos
e 8. Muestre que otra métrica d, en el conjunto de todas la funciones continuas reales en el intervalo [a; b], esta de…nida por : Z b e jx (t) y (t)j dt d (x (t) ; y (t)) =
a

Solucion :

e P.d d es una métrica P.d

e i) P.d. d(x(t); y(t))

0

e ii) P.d. d(x(t); y(t)) = 0 , x(t) = y(t) e e iii) P.d.d(x(t); y(t)) = d(y(t); x(t))

e Decimos que d está bien de…nida, pues para cada función existe una única integral. Como j x(t); y(t) jes una función continua que es integrable. e ) d j x(t); y(t) j está bien de…nida. P.d. i) j x(t)

e iv) P.d. d(x(t); y(t))

e e d(x(t); z(t)) + d(z(t); y(t))

y(t) j es positivo o cero. y(t) j 0 ) Zb
a

Entonces j x(t) e ) d(x(t); y(t)) 0

j x(t)

y(t) jdt

0

1

P.d ii) Partiendo del mismo hecho j x(t); y(t) j

0 )

Zb
a

j x(t) y(t) j

dt = 0 ,j x(t) y(t) j= 0 , x(t) y(t) = 0 , x(t) = y(t) e ) d(x(t); y(t)) = 0 , x(t) = y(t) P.d iii) e d(x(t); y(t)) = =
a Zb a

Zb
a

j x(t) y(t) j dt = x(t)) j dt = Zb
a

Zb
a

j

( x(t)+y(t)) j dt 1 jj (y(t) x(t)) j dt

Zb

j ( 1)(y(t) j (y(t)

j

=

e x(t)) j dt =d(y(t); x(t))

P.d. iv)

e e ) d(x(t); y(t)) = d(y(t); x(t)) j x(t) =j (x(t)

y(t) j=j x(t)

z(t) + z(t) y(t)) j

y(t) j

z(t)) + (z(t)

j x(t) z(t) j + j z(t) y(t) j Zb Zb ) j x(t) y(t) j dt j x(t)
a a

z(t) j + j z(t)

y(t) j

dt =

Zb
a

j x(t)

z(t) j dt +

Zb
a

j z(t)

y(t) j dt

e ) d(x(t); y(t)) 1.0.2

e e d(x(t); z(t)) + d(z(t); y(t))

12. (Desigualdaddel triangulo) La desigualdad del triángulo tiene varias consecuencias útiles. Por ejemplo, usando el hecho de que d (x1 ; xn ) d (x1 ; x2 ) + d (x2 ; x3 ) + ::: + d (xn 1 ; xn ); muestre que: jd (x; y) d (z; w)j d (x; z) + d (y; w)
1 ; xn )

Solucion : (1) := d(x1 ; xn ) Por un lado tenemos

d(x1 ; x2 ) + d(x2 ; x3 ) + ::: + d(xn

2

d(x; y) ) d(x; y)

d(x; z) + d(z; w) + d(w; y) d(z;w) d(x; z) + d(w; y) = d(x; z) + d(y; w) d(x; y) d(x; z) + d(y; w)

Por lo que

Por otro lado tenemos d(z; w) ) d(x; y) ) ) [d(x; y) d(x; z) + d(x; y) + d(y; w) d(x; y) d(x; z) + d(y; w) d(z; x) + d(y; w) d(x; y) d(z; w) d(x; y) d(z; w) d(x; z)+d(y; w)

d(z; w)]

[d(z; x) + d(y; w)]

Llegamos a que

[d(z; x)+d(y; w)]

)j d(x; y) 1.0.3

d(z; w) j

d(x; z) + d(y; w)

13.Usando ladesigualdad del triángulo, muestre que: jd (x; z) d (y; z)j d (x; y)

Solucion : d(x; z) d(y; z) ) d(x; z) ) )

d(x; y) + d(y; z)

d(y; x) + d(x; z) = d(x; y) + d(x; z) d(y; z) d(x; y) d(x; y) d(x; y) d(x; y) ) d(x; y) d(x; y) d(x; z) d(y; z) d(x; y)

d(x; z) + d(y; z) (d(x; z) d(y; z)) d(y; z) d(y; z) j

) d(x; z) )j d(x; z)

3

2
2.0.4

1.2 Mas Espacios Metricos.
4. (Espaciolp ) Encuentre una sucesión que converja a 0; pero no este en ningún espacio lp , donde 1 p < 1.
1 log(n+1)

Solucion : Sea (an ) =

Como log(n + 1) ! 1 cuando n ! 1 entonces (an ) ! 0 cuando n!1 Supongamos que (an ) pertenece a lp para algún p X X
1 Z 1

)

j an j =

p

j

1 p log(n+1) j converge

)

1 (log(n+1))p dx

converge

Sea u = log(x + 1) ) exp(u) = x + 1 ) x = expu
1 1 Z Z 1 dx = (exp u)du ) (log(n+1)p ) dx = 1 1 Z 1 1 Z (exp u) up du

1 ) dx = (exp u)du

log(2)

)

1 (log(n+1))p dx

=

(exp u) up du

log(2)

Luego, expu!1 u = 1 para cualquier u entonces
1 Z exp u up

! 1 si u ! 1 =
1 Z 1 1 (log(n+1))p dx

)

(exp u) up du

no puede converger

log(2)

)

X

j

1 p log(n+1) j

diverge ) (an ) 2 lp =

4

2.0.56. (Diámetro, conjunto acotado) El diámetro (A) de un conjunto A no vacío en un espacio métrico (X; d) es de…nida como (A) = sup d (x; y) .
x; y 2 A

2.0.6

A se dice que es acotado si implica que (A) (B).

(A) < 1. Muestre que A

B

Solucion : Si A

Se tiene que (A) = supfd(x; y) : x; y 2 Ag B entonces fd(x; y) : x; y 2 Bg supfd(x; y) : x; y 2 Bg

fd(x; y) : x; y 2 Ag

)...