Espacios uclideos

Espacios vectoriales
euclídeos.
Producto escalar euclídeo, norma y
distancia euclídeas, ortogonalidad y bases
ortogonales y ortonormales, método de
ortogonalidad de Gram-Schmidt y
proyecciónortogonal.

Carlos Cuesta Domínguez y Alberto Carcelén López.
28/12/2010

Introducción
Muchos de los fenómenos que se investigan en la geometría utilizan
nociones como las de longitud de unvector y ángulo entre vectores. Para
introducir estos dos conceptos en los R-espacios vectoriales se define el
producto escalar. Un R-espacio vectorial al que se asigna un producto
escalar se denominaespacio vectorial euclídeo.
En este estudio trabajaremos, principalmente, con R-espacios vectoriales
euclídeos de dimensión finita, profundizando en los siguientes campos de
dichos espacios:
-Producto escalar euclídeo.
- Norma y ángulo euclídeos.
- Distancia euclídea.
- Concepto de ortogonalidad y de bases ortogonales y
ortonormales.
También describiremos el método de ortogonalización deGram-Schmidt y
la obtención de la proyección ortogonal.
Como breve introducción a la materia sería conveniente dar una definición
de espacio vectorial euclídeo.
En matemáticas, el espacioeuclídeo es tipo de espacio geométrico donde
se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el
plano euclídeo, al espacio tridimensional de la geometría euclidiana son
casosespeciales de espacio euclídeo de dimensiones 1, 2 y 3; el concepto
abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más
dimensiones. El término euclídeo se utiliza para distinguir estosespacios
de los espacios curvos de la geometría no euclidiana y la teoría de la
relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo
puede poseer dimensiones, se suele hablar de"espacio euclídeo
n-dimensional" (denotado
, o incluso ).
El n-espacio euclídeo se puede considerar también como un Espacio
vectorial n-dimensional real. El producto interior, también llamado...