Espacios vect

CAP´ ıTULO 1

ESPACIOS VECTORIALES
En muchas ramas de la matem´tica aparecen conjuntos cuyos elementos pueden a ser sumados y multiplicados por n´meros, o sea; en donde podemos realizar combiu naciones lineales. Un ejemplo ya visto es el de las listas de n´meros reales. Estas u operaciones particularmente simples se generalizan a los elementos (vectores) de una estructura algebraica que por susencillez y amplitud se utiliza con diversos tipos de objetos y en diversos tipos de aplicaciones. En este Cap´ ıtulo desarrollamos este concepto central del curso, el de espacio vectorial. Este concepto condensa en una estructura algebraica las nociones que hemos venido considerando. Todas las ideas b´sicas de esta secci´n ya fueron tratadas al a o desarrollar la teor´ de los sistemas lineales.Nociones como: combinaciones lineales, ıa generadores, bases, subespacios ya fueron vistas. Estas depend´ de cierta estrucıan tura llamada de espacio que Kn posee. En este cap´ ıtulo llevamos estas nociones a un contexto m´s amplio, espacio vectorial, que es una estructura general en donde a podemos tomar combinaciones lineales. La idea de combinaci´n lineal es lo que permite considerargeneradores, conjuno tos linealmente independientes, bases; tenga presente los resultados de los cap´ ıtulos anteriores. Muchas veces el lector notar´ que las demostraciones o argumentaciones a que haremos son an´logas a las realizadas para Kn . Es importante que el lector est´ a e atento a este tipo de idea. Un concepto fundamental , el de independencia lineal, definido de forma particularmente simple, perocuya comprensi´n en toda su riqueza -nuestra experiencia o lo indica- merece una atenci´n especial por parte de quien lo analiza por primera vez. o Realizar muchos ejercicios con este nuevo concepto abstracto, comprender bien como

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se le utiliza en diversas demostraciones, es una recomendaci´n que hacemos amistosao mente al lector. La independencia lineales lo que nos permite tener unicidad a la hora de las combinaciones lineales: evita que tengamos muchas maneras de expresar un vector como combinaci´n lineal de otros evitando as´ redundancias. o ı Al desarrollar el concepto de espacio vectorial trataremos de hacer hincapi´ en e las nociones geom´tricas simples que son comunes a otras ramas de la matem´tica e a y motivar en todo lo posible en baseal concepto de vectores de Kn enfatizando una significaci´n geom´trica. o e El lector podr´ y deber´ recurrir frecuentemente a motivaciones basadas en los veca a 3 tores de R o en las matrices, pero el objeto en estudio es un concepto abstracto, mucho m´s general, cuya comprensi´n y manejo fluido es una de las finalidades de a o este curso. 1.1. ESPACIOS VECTORIALES Vamos a resumir los elementos queconsideramos centrales para la estructura de espacio vectorial. En muchos libros la definici´n siguiente es tambi´n presentada como o e los axiomas de espacio vectorial. ´ DEFINICION 1. Un espacio vectorial sobre un cuerpo K o, un K-espacio vectorial consta de cuatro elementos ordenados {V, K, +, ·} 1: Un conjunto V no vacio cuyos elementos se llamar´n vectores. a 2: El cuerpo K, cuyos elementos sellamar´n escalares. a 3: Una operaci´n llamada suma de vectores, y denotada con el s´ o ımbolo +, + : V × V → V, quiere decir que u + v est´ definida para todo par (u, v) ∈ V × V y da como a resultado un elemento V . El dominio es el producto cartesiano V × V y cuyo codominio es V . 4: Una operaci´n llamada producto de un escalar por un vector, y denoo tada con el s´ ımbolo ·, · :K×V →V, cuyodominio es K × V y cuyo codominio es V ; que verifican las siguientes propiedades: Para la suma:

1.1.

ESPACIOS VECTORIALES

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S1) Asociativa: Dados u, v, w ∈ V se cumple (u + v) + w = u + (v + w). S2) Conmutativa: Para cualquier u, v ∈ V tenemos u + v = v + u. S3) Neutro: Existe un elemento 0 ∈ V , llamado “vector nulo”tal que , ∀u ∈ V se tiene 0 + u = u + 0 = u. S4) Opuesto: Para cada...