Espacios Vectoriales Algebra Lineal

UNIDAD4:ESPACIOS VECTORIALES
MATERIA: ALGEBRA LINEAL



INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VALLADOLID.
7 DE JUNIO DEL 2012

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VALLADOLID.
UNIDAD4:ESPACIOS VECTORIALES
MATERIA: ALGEBRA LINEAL



INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VALLADOLID.
7 DE JUNIO DEL 2012

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE VALLADOLID.
I

INDICE

4.1 DEFINICIÓN DEESPACIO VECTORIAL 3
4.2 SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES 3
EJEMPLOS: 4
DEMOSTRACION: 4
OPERACIONES CON SUBESPACIOS: 5
Unión: 5
Intersección: 5
Suma: 5
Suma directa: 5
DIMENCIONES DE SUBESPACIOS: 5
En la suma directa: 6
4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 6
DEFINICION: 6
EJEMPLO: 8
Método alternativo usando determinantes: 9
EJEMPLO 2: 10Demostración: 10
Multiplicando: 10
Sumando coordenadas: 11
EJEMPLO 3: 11
Demostración: 11
4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE. 12
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. 12
Ejemplos de bases. 12
Extender un conjunto para que forme base. 14Reducir un conjunto para que forme base 15
Teorema y definición: Dimensión. 15
Ejemplos de dimensión. 16
Propiedades de la dimensión. 16
Definición: Matriz del cambio de base. 17
Ejemplo. 17
Propiedades de las matrices de cambio de base. 19
4.5 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO (ESCALAR) Y SUS PROPIEDADES 20
DEFINICION 20
Propiedades del producto escalar 21
Expresiónanalítica del producto escalar 22
Norma o Módulo de un vector 22
Productos interiores definidos en espacios vectoriales usuales 23
Generalizaciones 25
Formas cuadráticas 25
TENSORES METRICOS: 25
4.6 BASE ORTONORMAL, PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT. 26
DEFINICION: 26
EJEMPLOS: 27

ESPACIOS VECTORIALES

4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL
Los espacios vectoriales sederivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares. Es una estructura que nos asegura que al componer dos elementos pertenecientesal espacio (elementos a los que llamaremos vectores) de acuerdo a una cierta operación, el resultado sigue siendo un elemento del espacio. En otras palabras, la suma de vectores será un vector y no cualquier otra cosa, como podría ser un punto.
una operación (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dichoconjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

4.2 SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES
Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir laspropiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
EJEMPLOS:
Partiendo del espacio vectorial  consistente de todos los vectores reales (a, b), entonces el subconjunto
.
es un subespacio vectorial.

DEMOSTRACION:
Por otro lado, el subconjunto

noes un subespacio vectorial.
Si V es un espacio vectorial, entonces un subconjunto U de V es un subespacio vectorial si y sólo si para cualquiera dos vectores v, w pertenecientes a U y cualquier escalar r perteneciente al campo asociado, el vector  es también un elemento de U.

OPERACIONES CON SUBESPACIOS:
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V,...