Espacios vectoriales con producto escalar

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO ESCALAR

I. VECTORES

Una de las ideas principales del Algebra Lineal es la de considerar los coeficientes y términos independientes correspondientes a los sistemas de ecuaciones lineales como vectores.
Por ahora consideraremos que los vectores son conjuntos ordenados de números reales tales como (1, 0), (1, 3, -5) o (8, 1,-2,5). Se dice que cada uno de losnúmeros reales del conjunto ordenado es una componente del vector.

Diremos que dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes son iguales y están en el mismo orden. Por ejemplo, los vectores (-3, 1) y (-3, 1) son iguales, mientras que los vectores (-3, 1) y (1, -3) son diferentes.
Con los vectores se pueden efectuar las siguientes dos operaciones:

Suma de vectores. Para efectuaresta operación con dos vectores se suman sus componentes correspondientes.
Por ejemplo, la suma de los vectores (1, -3, 5) y (4, 8, 1) es:
(1, -3, 5) + (4, 8, 1) = (5, 5, 6)

Producto de un escalar por un vector. Para efectuar esta operación se multiplica el escalar (número real) por cada una de las componentes del vector.
Por ejemplo, el producto del vector (5, 5, 6) por el escalar 7 es :
7(5, 5, 6) = (35, 35, 42)

Ejercicio 1
a) Si u = (1, 3) y v = (-2, -1) encuentre:
i) u + v
ii) u - 2v
b) Encuentre el vector v:
i) (1, 4, 3) - 5v = (2, 4, 1)
ii) 3v + 4 (1, 2, 3) = (0, 0, 0)

II. ESPACIO VECTORIAL
Un conjunto de vectores como por ejemplo R3 (Recuerde que R3 es el conjunto de ternas ordenadas de números reales) tiene con respecto a las dos operacionesantes definidas, una serie de propiedades. Por tener esas propiedades se dice que R3 es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales.
Veamos a continuación esas propiedades que caracterizan a cualquier espacio vectorial:

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Sea un conjunto V de elementos llamados vectores y C un campo a cuyos elementos llamamos escalares.-------------------------------------------------
Si se pueden definir en ese conjunto dos operaciones: la suma de vectores y la multiplicación de un vector por un escalar,
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De tal manera que el conjunto V tenga con respecto a estas dos operaciones las propiedades siguientes:
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Si u, v y w son vectores del conjunto V y a y b son escalares, entonces:
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1. u + v pertenece a V
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2. u + v = v + u
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3. u + (v + w) = (u + v) + w
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4. Existe unelemento en V, denotado por 0 tal que u + 0 =u
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5. Si u pertenece a V, existe un elemento denotado por -u en V tal que
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u + (-u ) = 0
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6. au pertenece a V
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7. (a + b)u = au + bu-------------------------------------------------
8. a(u + v ) = au + av
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9. (ab)u = a(bu )
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10. 1u = u
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Entonces se dice que el conjunto V es un espacio vectorial sobre el campo C.A todo conjunto de objetos en el que se puedan definir las dos operaciones mencionadas y que tengan estas propiedades, le llamaremos un espacio vectorial.

Ejemplos:
a) Los conjuntos tales como R2 y R3 son espacios vectoriales.
b) Las soluciones de un sistema de ecuaciones homogéneo tal como:
x + 3y = 0
2x + 6y = 0
son de la forma (-3y, y) y constituyen un espacio...