espacios vectoriales euclideos

Tema 6.-

ESPACIOS VECTORIALES
EUCLÍDEOS

 PRODUCTO ESCALAR, NORMA Y DISTANCIA. MATRIZ 
DE GRAM
 ORTOGONALIDAD
 PROCESO  DE  ORTOGONALIZACIÓN  DE  GRAM­
SCHMIDT
 APROXIMACIÓN 
LINEAL 
VECTORIALES EUCLÍDEOS

EN 

 SOLUCIÓN 
APROXIMADA 
DE 
INCOMPATIBLES  (MÉTODO  DE 
CUADRADOS)

ESPACIOS 
SISTEMAS 
MÍNIMOS 
1

Una de las aplicaciones más interesantes en este capítulo es el método de mínimos cuadrados
. Con frecuencia, al tratar de comprender datos 
de 
experimentales,  deseamos  determinar  una  recta  o  una  curva  que 
“encaje” o “se ajuste” más (o describa mejor) estos datos. Por ejemplo, 
imaginemos que un profesor de álgebra lineal mantiene las estadísticas 
(que se muestran a continuación) del porcentaje de notables otorgados 
durante un período de 6 cursos.
Curso
Porcentaje
denotables

1

0.20

2

3

0.25

0.20

4

0.30

5

0.45

6

0.40

Si el profesor quisiera trazar una recta que se acerque a los puntos en 
la tabla tendrá muchas opciones. Sin embargo, hay una que se ajusta 
mejor a estos datos,  bajo cierto criterio. En este capítulo veremos que 
esa recta es  y = 0.13333 + 0.05 x
esa recta es  

2

Un poco de historia
El método por mínimos cuadrados fue inventadopor Karl
Friedrich Gauss, y lo usó para resolver un problema de
astronomía. En 1801 el asteroide Ceres se había observado
mucho más brillante durante más de un mes antes de desaparecer
cuando se acercó al Sol. Con base en las observaciones
disponibles, los astrónomos deseaban aproximar la órbita de
Ceres para observarlo de nuevo cuando se alejara del sol. Gauss
empleó los mínimos cuadrados eimpactó a la comunidad científica
al predecir la hora y el lugar correctos (unos 10 meses después)
para localizar el asteroide.

Karl Friedrich Gauss (1777 ­ 1855) Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido en 
el seno de una familia humilde, desde muy temprana edad Gauss dio muestras de una 
prodigiosa  capacidad  para  las  matemáticas  (según  la  leyenda,  a  los  tres  años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para 
indicarle un error de cálculo). Durante su vida, se reconoció que era el matemático más 
grande de los siglos XVIII y XIX. 

3

PRODUCTO ESCALAR
Sea  V
Sea     un espacio vectorial real
es un producto escalar sobre  V
sobre     si :
1.­
2.­
3.­
4.­
es un espacio vectorial euclídeo
4

-EJEMPLOS.1.­ Producto escalar usual en Para                                                        vectores de        definimos:    


2.­ Otro producto escalar en 
Para                                                        vectores de        definimos:    


3.­ Producto escalar usual en 
Siendo

5

4.­ Producto escalar usual en 
Para                                                                                             definimos:    

5.­ Producto escalar usual en

Para                                        definimos:   
Siendo  la  traza  de  una  matriz  cuadrada  la  suma  de  los  elementos  de  su 
diagonal principal.



6

-OBSERVACIÓN.- Otra forma (más cómoda) de calcular el producto
escalar usual de dos matrices cuadradas del mismo orden



7

6.­ Producto escalar usual en 
           es el espacio vectorial de las funciones continuas en   [a , b], y por 
tanto integrables en  [a , b].                                                                               
            



Algunas propiedades del producto escalar.­
1.­
2.­
3.­

El 
El  único 
único  vector 
vector  de 
de  un 
un  espacio 
espacio  vectorial 
vectorial 
euclídeo  
euclídeo  V
V  que cumple que su producto 
  que cumple que su producto escalar 
escalar  con 
con  todos 
todos  los 
los  vectores 
vectores  de 
de     V
V      es 
es 
cero, es el vector nulo.
cero, es el vector nulo.

8

NORMA Y DISTANCIA EUCLÍDEAS
Los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad,
que son bien conocidos para
y
, se definen en este capítulo
para
y, en general, para cualquier espacio vectorial euclídeo V. Estos...