Espacios Vectoriales Prod

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
´
Facultad de Ciencias F´ısicas y Matematicas
´
Departamento de Ingenier´ıa Matematica

Algebra II. 525148.
Espacios Vectoriales con Producto Interior
Octubre 2010.
Profesores:
´
Antonio Contreras Quilodran
Rommel Bustinza Pariona
Manuel Campos Pareja

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

1.

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
´ de Producto InteriorDefinicion
Sea (V, +, ·) un espacio vectorial sobre un cuerpo K dado por R o C. Se dice
´
que una aplicacion

·, · : V × V → K es un producto interior (producto

escalar) sobre V si satisface las siguientes propiedades:

•

α u + β v, w = α u, w + β v, w
∀ α, β ∈ K, ∀ u, v, w ∈ V

•

u, v

•

v, v ≥ 0

•

´ si v = θ.
v, v = 0 si, y solo

= v, u

∀ u, v ∈ V
∀v∈ V

´
Observacion.
Notar que lasegunda propiedad implica que

∀v ∈ V :

y por lo tanto tiene sentido requerir la tercera propiedad.

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Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

2.

v, v ∈ R ,

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
Ejemplos
1) En el e.v. real

V := Rn se define ·, · : V × V → R por
n

∀ x := [x1 , ..., xn ], y := [y1 , ..., yn ] ∈ V

xj yj

x, y :=
j=1

2) En el e.v. real

V := Mm×n (R) se define ·, · : V ×V → R por
A, B := tr (B t A)

∀ A, B ∈ V ,

n

donde

cjj

tr (C) :=
j=1

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

∀ C := (cij ) ∈ Mn×n (R)

3.

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
´
Ejemplos ... (continuacion.)

V := C[a, b] := {f / f : [a, b] → R es continua } se
define ·, · : V × V → R por

3) En el e.v. real

b

f, g :=

f (x) g(x) dx
a

∀ f, g ∈ V

4) Sea {x1 , x2 , ..., xn }una base de Rn . Entonces, en el e.v. real

V := Mn (R) se define ·, · : V × V → R por
n

A xj , B xj

A, B :=

Rn

j=1

donde

·, ·

Rn es el producto interior usual de

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

4.

∀ A, B ∈ V ,
Rn .

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
5) Caso particular.
´
Si {x1 , x2 , ..., xn } es la base canonica
de Rn , entonces:
n

n

aij bij

A, B :=
i=1j=1

∀ A := (aij ), B := (bij ) ∈ V

´
Observacion.
Un e.v.

V sobre un cuerpo K (R o C), provisto de un producto interior ·, · se

llama un espacio vectorial con producto interior (e.v. con p.i.). Los cinco
ejemplos anteriores son e.v. con p.i.

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

5.

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
TEOREMA (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Sea ( V,satisface

·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces se
| v, w | ≤

v, v

1/2

w, w

1/2

∀ v, w ∈ V

´ de Norma
Definicion
Sea V un e.v. sobre un cuerpo K dado por R o C. Una norma sobre V es una
´
aplicacion

· : V → R que satisface las siguientes propiedades:

•

v

≥ 0

•

v

= 0

•

v+w

•

αv

∀v ∈ V
v = θ

´ si
si, y solo

≤

v + w

= |α| v

´
Dpto. de Ingenier´ıaMatematica

∀ v, w ∈ V

∀ α ∈ K, ∀ v ∈ V
6.

ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
TEOREMA (Norma Inducida)

·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces, la
´
· : V → R definida por
aplicacion
Sea ( V,

v

:= v, v

1/2

∀v ∈ V

es una norma sobre V , la cual se llama norma inducida por

·, · .

TEOREMA de PITAGORAS y LEY del PARALELOGRAMO
Sea ( V,

·, · ) un e.v.con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C, y sea · su

norma inducida. Entonces se satisface

•

v +w

•

v+w

2

2

= v

2

+ v−w

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

+ w
2

2

= 2

´ si
si, y solo

v

2

7.

Re v, w = 0

+ w

2

∀ v, w ∈ V
ACQ/RBP/MCP.

Espacios Vectoriales con Producto Interior
ORTOGONALIDAD
Sea ( V,

·, · ) un e.v. con p.i. sobre un cuerpo K dado por R o C. Entonces:

• v, w ∈V se dicen ortogonales si
v, w

= 0

• {v1 , ..., vn } ⊆ V se dice un conjunto ortogonal si
vi , vj

= 0, ∀ i = j, i, j ∈ {1, ..., n} y

vi = 0 ∀ i ∈ {1, ..., n}.

• {v1 , ..., vn } ⊆ V se dice un conjunto ortonormal si es ortogonal y todos
sus vectores tienen norma inducida igual a 1, es decir
vi , vj = 0, ∀ i = j, i, j ∈ {1, ..., n}

´
Dpto. de Ingenier´ıa Matematica

8.

y

vi

= 1, ∀ i ∈...