Espacios vectoriales r2 y r3

Espacio Vectorial en R2 y R3
El espacio vectorial R2 corresponde a lo que se denomina el plano real y tiene dimensión 2. Tradicionalmente se toma para este espacio como base el conjunto de vectores (i, j), tal que:
i = (1; 0) y j = (0; 1)
El conjunto (i, j) recibe el nombre de base canoníca.
En la representación geométrica de elementos de este espacio, el vector i corresponde en el sistema decoordenadas al eje x, y el vector j corresponde al eje y.
Asi cualquier vector u = (x; y) en el plano se acostumbra escribir como u = (x; y) = xi + yj
Los números reales x, y reciben el nombre de componentes del vector u en la base (i, j).
Similarmente, el espacio vectorial R3 corresponde al espacio real y su dimensión es 3. La base con que se trabaja generalmente es (i, j, k) donde
i = (1; 0; 0); j= (0; 1; 0); k = (0; 0; 1)
Usando esta base, se tiene que si u = (x, y, z) entonces
u = (x, y, z) = xi + yj + zk
Los números reales x, y, z reciben el nombre de componentes del vector (x, y, z) en la base (i, j, k) y esta recibe el nombre de base canoníca.
En la representación geométrica de elementos de este espacio el vector i corresponde al eje x, el j corresponde al eje y, y el vector k al ejez.

Elementos de un Vector
Dirección de un vector
Es la dirección de la recta que contiene al vector o cualquier recta paralela a ella.
Sentido de un vector
El sentido del vector  es que va del origen A al extremo B.
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define. El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tienemódulo cero.

Equipolencia
Decimos que dos o más vectores son equipolentes cuando las magnitudes físicas que representan tienen el mismo valor y producen los mismos efectos.
En general, para que dos o más vectores sean iguales (equipolentes) no basta que tengan el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.
Las condiciones de equipolencia, más o menos restrictivas, permiten clasificar lasmagnitudes vectoriales en tres clases o categorías.
Vectores libres. Las condiciones de equipolencia consideran que dos direcciones son equivalentes con tal de que sean paralelas. Por consiguiente, diremos que dos vectores libres son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido, aunque sus rectas de acción (directrices) sean diferentes.

Ejemplos: la velocidad yla aceleración de una partícula, etc.
Vectores deslizantes. Las condiciones de equipolencia imponen que los vectores tengan el mismo módulo y que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción (recta directriz), siendo indiferente el punto de la recta en que estén aplicados. Reciben esta denominación porque los vectores pueden deslizar a lo largo de su recta de acción sin cambiar los efectosasociados a la magnitud física que representan.

Ejemplos: las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido, la velocidad angular del sólido rígido, etc.
Vectores ligados. Las condiciones de equipolencia son aún más restrictivas ya que imponen que los vectores tengan el mismo módulo, que actúen en un mismo sentido sobre una misma recta de acción (recta directriz) y estén aplicados en un mismo punto.Obviamente, los vectores no pueden desplazarse paralelamente ni deslizar, por lo que están ligados a un punto.
Ejemplos: intensidad del campo gravitatorio (), intensidad del campo eléctrico ().

Algebra Lineal
Es la rama de la matemática que está relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación. Un vector físico es una magnitud físicacaracterizable mediante un punto de aplicación u origen, un módulo, una dirección y un sentido, o alternativamente por un número de componentes independientes tales que las componentes medidas por diferentes observadores son relacionables de manera sistemática.

Norma de un Vector
Un vector es un elemento de un espacio vectorial para el que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa...