Espacios Vectoriales y Matrices
Páginas: 3 (675 palabras)
Publicado: 6 de noviembre de 2013
ESPACIOS VECTORIALES DE MATRICES
El objetivo central del presente capítulo es establecer el isomorfismo entre el álgebra de transformaciones lineales de un -espacio de dimensión finita y el dematrices cuadradas de orden sobre . Este isomorfismo permite un mejor manejo algebraico de las transformaciones lineales en términos de matrices. Otro aspecto importante tratado en este capítulo esel de la clasificación de matrices en términos de equivalencia y similaridad. En la última lección se estudian las matrices invertibles.
Sea un cuerpo y enteros , una matriz sobre de orden ( =tamaño) es una tabla de filas y columnas cuyas entradas pertenecen a
Los elementos , y se conocen como las entradas de la matriz ; el elemento de ubicado en la intersección de la i-ésimafila y la j-ésima columna se denota por La matriz se denota brevemente por . La i-ésima fila de se denota por y puede considerarse como un vector de , la j-ésima columna de se representa por
ypuede considerarse como un vector de . Dos matrices y , del mismo tamaño, son iguales si y sólo si , para cada . Una matriz se dice que es cuadrada si el número de filas coincide con el número decolumnas, es decir, . Una matriz fila es una matriz de una sola fila, una matriz columna es una matriz con una sola columna. El conjunto de matrices sobre de tamaño se denota por , para el conjuntode matrices cuadradas de tamaño se utiliza la notación .
Se puede ya enunciar el primer hecho sobresaliente relacionado con los arreglos matriciales definidos arriba.
Proposición 1. Sea un cuerpoy el conjunto de matrices de tamaño sobre . Entonces, es un espacio vectorial sobre de dimensión , respecto de las siguientes operaciones:
,
La prueba de esta proposición es muy sencilla,solo se debe destacar que el vector nulo es la matriz nula
la opuesta de la matriz es la matriz , y la
base canónica es
donde es una matriz con una sola entrada no nula, la entrada...
El objetivo central del presente capítulo es establecer el isomorfismo entre el álgebra de transformaciones lineales de un -espacio de dimensión finita y el dematrices cuadradas de orden sobre . Este isomorfismo permite un mejor manejo algebraico de las transformaciones lineales en términos de matrices. Otro aspecto importante tratado en este capítulo esel de la clasificación de matrices en términos de equivalencia y similaridad. En la última lección se estudian las matrices invertibles.
Sea un cuerpo y enteros , una matriz sobre de orden ( =tamaño) es una tabla de filas y columnas cuyas entradas pertenecen a
Los elementos , y se conocen como las entradas de la matriz ; el elemento de ubicado en la intersección de la i-ésimafila y la j-ésima columna se denota por La matriz se denota brevemente por . La i-ésima fila de se denota por y puede considerarse como un vector de , la j-ésima columna de se representa por
ypuede considerarse como un vector de . Dos matrices y , del mismo tamaño, son iguales si y sólo si , para cada . Una matriz se dice que es cuadrada si el número de filas coincide con el número decolumnas, es decir, . Una matriz fila es una matriz de una sola fila, una matriz columna es una matriz con una sola columna. El conjunto de matrices sobre de tamaño se denota por , para el conjuntode matrices cuadradas de tamaño se utiliza la notación .
Se puede ya enunciar el primer hecho sobresaliente relacionado con los arreglos matriciales definidos arriba.
Proposición 1. Sea un cuerpoy el conjunto de matrices de tamaño sobre . Entonces, es un espacio vectorial sobre de dimensión , respecto de las siguientes operaciones:
,
La prueba de esta proposición es muy sencilla,solo se debe destacar que el vector nulo es la matriz nula
la opuesta de la matriz es la matriz , y la
base canónica es
donde es una matriz con una sola entrada no nula, la entrada...
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