Espacios vectoriales

ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse encuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto deescalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
Cuerpo:
Es elconjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diez propiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
Sub cuerpo:
Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se hanmencionado con anterioridad.
Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplirla ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Combinación Lineal:
Se denomina combinación lineal a u vector V en un espacio vectorial U u un cuerpo h.
Si los vectores v1, v2, v3, ..., vn en u si V puede expresarse como:
V = c1v1 + c2v2 + c3v3 +... + cnvn donde c son escalares del cuerpo h.
Envolvente Lineal:
Este es elconjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por Lin(v1, v2, ..., vn) y se denomina envolvente lineal de u1, u2, ...,un.
Siendo S un sub conjunto de un espacio vectorial V entonces Lin S es un sub conjunto de un espacio vectorial V y si W es un subconjunto de V que contiene a S, necesariamente Lin S es complemento de W.
Conjuntos Generadores:
Si todo vector es un espaciovectorial puede ser expresado como combinación lineal como lo vimos anteriormente entonces se dice que la combinación lineal es un conjunto generador de un espacio vectorial..
En otras palabras si u1, u2, ..., un generan u entonces u pertenecen a V si existen escalares c tal que:
V = c1u1 + c2v2 + ... + cnun entonces V es una combinación lineal de u1, u2, ..., u3 .
Espacio fila y Espacio Columna deuna Matriz:
Si A es una matriz m x n en un cuerpo K cualquiera, las filas de A pueden ser vistas como vectores de Kn llamado espacio fila de U denotado por f - Lin A.
Así haciendo la matriz transpuesta esto quiere decir que si las columnas las hacemos vectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio columna de A denotado c-Lin A.
Si hacemos operaciones elementales entre fila a Ay obtenemos una matriz B podemos decir que B es que cada fila de B es una combinación lineal de cada fila de A por lo que el espacio fila de B esta contenido al espacio fila de A y así viceversa, o sea, si efectuamos operaciones entre fila a B obtenemos A y esto seria convención lineal de cada fila de B, esto cumple ciertos teoremas y propiedades:
• Las matrices equivalentes por filas tienen...