Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.
Notación. Si x y y están en V y si α es un numero real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de α y x como αx.
Antes de presentar lalista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece unadefinición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son numero reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.
AXIOMAS DEUN ESPACIO VECTORIAL
i. Si x ∈ V y y ∈ V, entonces x + y ∈ V (cerradura bajo la suma).
ii. Para todo x, y y z en V, (x + y)+ z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores).
iii. Existe un vector 0 ∈ v tal que para todo x ∈ v, x + 0= 0 + x = x
(el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
iv. Si x ԑ V, existe un vector –x en∈ V tal que x+-x=0(-x se llama inverso aditivo de x
v. si x y y estan en V, entonces x+y=y+x
ley conmutativa de la suma de vectores.

vi. si x∈V y ∝es un escalar, entonces ∝x ∈V
cerradura bajo la multiplicacion por un escalar.
vii. si x y y estan en V y ∝es un escalar, entonces ∝x+y=∝x+∝y
(segunda ley de distributiva)
viii. si x∈V y ∝y βson escalares, entonces ∝+βx=∝x+βx
(segunda ley de distributiva)
ix. si x∈V y ∝y β son escalares, entonces ∝(βx)=(∝βx)
ley asociativa de la multiplicacion por escalares.

x. Para cada vector x∈V, 1x=x

Ejemplos.
1. El espacio vectorial Rn
Sea V = R2= x1x2...xn :x, ∈R para i=1,2,…,n .
Cada vector en Rn es una matriz de n*1. Según ladefinición de suma de matrices ya vista anteriormente. X + y es una matriz de n*1 si x y y son matrices de n*1. Haciendo 0 = 00...0y-x=-x1-x2...-xn, se observa que los axiomas ii) a x) se obtinen de la definicion de suma de v
2. Espacio vectorial trivial
Sea V = 0. Es decir, V consiste solo en el numero 0. Como 0 + 0 = 1*0 = 0 +(0+0) = (0 + 0) + 0 = 0, se ve que V es un espacio vectorial. Confrecuencia se le otorga el nombre de espacio vectorial trivial.
3. Conjunto que no es un espacio vectorial
Sea V = 1. Es decir, V consiste únicamente del numero 1. Este no es un espacio vectorial ya que viola el axioma i) el axioma de cerradura. Para verlo con mas claridad, basta con observar que 1 + 2 = 2 no es un elemento de V. también viola otros axiomas, sin embargo, con tan solodemostrar que viola al menos de los diez axiomas que da probado que V no es un espacio vectorial.

TEOREMA 1
Sea V un espacio vectorial. Entonces
i. ∝0=0 para todo escalar ∝.
ii. 0*x=0 para todo x∈V.
iii. Si∝x=0, entonces ∝ =0 o x=0 o ambos.
iv. -1x=-x para todo x ∈V.

SUB-ESPACIOS DE UN ESPACIO VECTORIAL
Se sabe que R2={x,y:x∈R y y ∈R} es un espacio vectorial. Sesabe que V={x,y:y=mx} también es un espacio vectorial. Adicionalmente, es evidente que V C R2. Esto es, R2 tienen un subconjunto que también es un espacio vectorial. De hecho, todos los espacios vectoriales tienen subconjuntos que también son espacios vectoriales. En esta sección se examinaran estos importantes subconjuntos.
Definición
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y...