Espacios vectoriales

INDICE
4.1 Definición de Espacio Vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag.3
4.2 Definición Subespacio Vectorial De espacio vectorial. . . . . . .pag.3
4.3 Propiedades vectores, combinación lineal. . . . . . . . . . . . . . . .pag.5
4.4 Base Dimensión de Espacio Vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . pag.8
4.5 Espacio Vectorial con producto interno. . . . . . .. . . . . . . . . . . pag.11
4.6 Cambio de Base, base orto normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .pag.12

UNIDAD IV ESPACIOS VECTORIALES
4.1 DEFICINION DE ESPACIO VECTORIAL Y PROPIEDADES
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores.Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Un espacio vectorial sobre uncuerpo K (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto V no vacío, dotado de dos aplicaciones:
operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro 0, es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

operación externa tal que:
a)
b)
c)
d)
Los elementos de Kse llaman escalares.
Los elementos de V se llaman vectores
4.2 DEFINICION DE SUBESPACIO DE ESPACIO VECTORIAL
En álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que debe cumplir ciertas características específicas.
Sean (V, +, K, *) un espacio vectorial y S un subconjunto de V.
S es subespacio vectorial de V si (S, +, K, *) es espacio vectorial en sí mismo,siendo + y * las mismas operaciones definidas en V. Las bases de un subespacio son el subconjunto de "alfa" y "beta" en el menor subespacio formado por la recta que pasa por dos puntos.
CONDICION DE EXISTENCIA DE SUBESPACIO
El criterio para la verificación de que S sea subespacio de V, es que ambas operaciones (+ entre elementos del conjunto S y * con escalares del cuerpo K) sean cerradas, esdecir, den como resultado elementos que también pertenezcan a S.Estas antes mencionadas se dan con la suma y la multiplicacion para los vectores.
Para ello se definen 4 axiomas que de cumplirse, garantizan la existencia del subespacio vectorial. Sea V un espacio vectorial, se define S como subespacio vectorial si y solo si:
1. S no es un conjunto vacío.

2. S es igual o está incluido en V.3. La suma es ley de composición interna.

4. El producto es ley de composición externa.

Si estas cuatro condiciones se cumplen entonces el conjunto es un subespacio.
OPERACIONES CON SUBESPACIOS
Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:
Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios noes un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la union a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.
Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.
Suma directa
Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vectornulo), entonces a la suma se la llama "suma directa".
Es decir que si .
4.3 PROPIEDADES VECTORES, COMBINACION LINEAL, DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL.
Sea {v1, v2,..., vn} un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números 'a1, a2,..., an, no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza...