Espacios vectoriales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ

CARRERA DE INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

NOMBRE DEL TRABAJO: TRABAJO FINAL

UNIDAD IV: ESPACIOS VECTORIALES

ALGEBRA LINEAL

YESICA RUBÍ GUTIÉRREZ COELLO

MORALES HERRERA VALERIA GPE.

KARLA ALEJANDRA NANDAYAPA SIU

ING. ROBERTO NÁFATE GÓMEZ

TUXTLA GUTIÉRREZ, CHIAPAS A 29 DE NOVIEMBRE DE 2010.

TABLA DE CONTENIDO

Introducción3

4.- Espacios vectoriales

4.1 Definición de espacio vectorial 4-6

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades 7-8

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal 9-13

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base 14-18

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

4.6 Baseortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt

Conclusión 17

Referencia 18-20

INTRODUCCIÓN

En este trabajo se presentara el tema del espacio vectorial se conocerá cuál es su definición y sus propiedades, así como también sobre la combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial, espacio vectorial con producto interno y suspropiedades y base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

4.- ESPACIOS VECTORIALES

4.1.- espacio vectorial

Definición

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos uy v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. La multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes axiomas:

(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v ∈ V (1)

Este axioma seconoce como el axioma de cerradura bajo la suma:

La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v = v ⊕ u (2)

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

(A3) Paracualesquiera tres vectores u, v y w en V

u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w (3)

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:

En una suma de vectores, no importa el orden cómo asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

(A4) Existe un único vector en V que se simbolizará por 0 y que se llamará el vector cero tal que para cualquiervector u ∈ V se cumple
u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u (4)

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:

Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple

u ⊕ (−u) = (−u)⊕ u = 0 (5)

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con él da el neutro aditivo.

(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple

c ⊙ u ∈ V (6)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo lamultiplicación por escalares:

El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V, y para cualquier escalar c en R se cumple

c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v) (7)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por...