Espacios vectoriales

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Espacios Vectoriales (EV) .
Dalmiro García Nava . CUCEI. Universidad de Guadalajara, México.

Un espacio vectorial es un conjunto de elementos (no necesariamente vectores) sobre los cualespueden realizarse dos operaciones: escalarse (multiplicarlos por un escalar) y sumarse, además de satisfacer un conjunto de 10 axiomas que se presenta más adelante.

Ejemplos de espacios vectorialesV . a) V = {R2} . R2 es el espacio vectorial de todos los vectores con dos componentes con la forma general ; v = (x,y). Gráficamente cualquier vector de R2 puede ser representado en el espaciocoordenado bidimensional por ejemplo :

v = (-2,10)

u = (5,2)

w = (-1,-1)

b) V = {R3} . R3 es el espacio vectorial de todos los vectores con tres componentes con la forma general ; v = (x,y,z).Gráficamente todos los vectores de este espacio vectorial pueden ser representados en el espacio coordenado tridimensional, por ejemplo los vectores u y v :

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22

Z

u = (3,-2, 5)

Y v =(-2,5, -2) X

c) V = {M22} . M22 es el espacio vectorial de todas las matrices de orden 2x2 de la forma general ;

a b  A  c d 

Operaciones de un espacio vectorial, EV.

Las operacionesbásicas de todo EV son :

1.- Multiplicación por escalar (escalarse) ; Para una vector u de cierto EV, por ejemplo de R2 , es decir para ; u = (x,y)  R2 gráficamente el vector u = (x, y)escalado se ve de la siguiente manera (suponiendo   0) ;

2

33

Y

u = (x, y)

u = (x,y)

X El resultado de escalar un vector u de un EV proporciona un vector múltiplo u que tambiénpertenece al EV.

2.- Suma ; Para dos vectores u y v de cierto EV, por ejemplo de R2 , es decir para ; u = (x1,y1) , v (x2,y2)  R2 sumando ambos vectores se obtiene un tercer vector que tambiénpertenece al EV ; w = u (x1,y1) + v (x2,y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)  R2

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Axiomas en la Definición General de un Espacio Vectorial. Todo EV debe satisfacer los siguientes 10 axiomas. Para que...