espacios vectoriales

BASES Y DIMENSIÓN
Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema
generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
β

Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una basede S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.
n:
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ

e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,. . . ,0)
........
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector(a1,a2,. . . ,an) ∈ ℜ n se puede expresar
como combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
2. Otra base de ℜ 3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner comocombinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , β , γ que satisfagan
(a,b,c)= α (1,0,0)+ β (1,1,0)+ γ (0,2,-3)
Se obtiene un sistema:
α+β = a
β +2 γ =b
-3 γ = c
en las incógnitas α , β , γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c.
3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independientes
(su determinante es nulo).
3
4. Base de unsubespacio. En ℜ , consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que
los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S.

- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo
podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:
Neila CamposÁLGEBRA LINEAL

Espacios Vectoriales

21

(a,b,0)= α (3,2,0)+ β (1,–1,0)

3α + β = a
2α – β = b

S. C. D. para cualesquiera a,b.

5. Extender un conjunto para que forme base. ¿Es (1,0,2), (1,0,–1) base de ℜ 3?
- Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro.
- Pero no son un sistema generador de ℜ 3, porque no es cierto que todo vector de ℜ 3
pueda ponersecomo combinación lineal de ellos. Por ejemplo, el (0,1,0) no se puede poner
(resulta un sistema incompatible).
Por tanto no son base de ℜ 3. ¿Puede obtenerse una base de ℜ 3 de algún modo?
Sí, añadiendo algún otro vector de manera que siga siendo independiente de los anteriores,
por ejemplo (0,1,0). Así el conjunto (1,0,2), (1,0,–1), (0,1,0) es linealmente independiente, y
genera ℜ 3, por tantoes base de ℜ 3.
6. Reducir un conjunto para que forme base.
S=plano XY de ℜ 3 ?

¿Es (2,0,0), (0,3,0), (4,1,0) base de

- Son un sistema generador de S, pero no son independientes (su determinante es nulo).
Por tanto no son base de S. ¿Puede obtenerse una base de S de algún modo?
Sí. Estos tres vectores tienen rango 2, por tanto uno de ellos es combinación lineal de los
demás y puedesuprimirse: por ejemplo suprimimos (4,1,0), ya que al quitarlo no baja el
rango. (También podría quitarse cualquiera de los otros dos).
Los restantes vectores (2,0,0), (0,3,0) siguen generando el mismo subespacio S y son
independientes. Son por tanto base de S.

Teorema y definición: Dimensión
.
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores.
Se llamadimensión de dicho espacio o subespacio.
• Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos
tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un
conjunto de vectoresde dicho espacio.
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

Ejemplos de dimensión.
1. ℜ n tiene dimensión n, pues tiene una base...