Espacios vectoriales

Matemáticas IV

Departamento de Ciencias Básicas

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1. Espacios vectoriales
Las preguntas básicas de existencia y unicidad: ¿existe una solución?, ¿no existe ninguna solución?, o bien, ¿existe un infinidad de soluciones? se responden más fácilmente después de aplicar la eliminación. Sin embargo, para encontrar todas las soluciones para un sistema de m por n se requieren los conceptos deespacio y subespacio vectorial. Definición 1 (Espacio vectorial). Sea V un conjunto no vacío de objetos, llamados vectores, sobre el que están definidas dos operaciones (la suma vectorial ⊕ y la multiplicación → → → por escalares ). Si los siguientes axiomas se cumplen para todo − , − y − en V y u v w todo escalar (número real) c y d, entonces V se denomina espacio vectorial.(L ARSON y E DWARDS, 2004)Suma: → → 1. − ⊕ − está en V u v − ⊕− = − ⊕− → → → → 2. u v v u

Cerradura bajo la adición Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Neutro aditivo Inverso aditivo

→ → → → → → 3. − ⊕ (− ⊕ − ) = (− ⊕ − ) ⊕ − u v w u v w 4. V contiene un vector cero 0 tal que → → → → − para todo − en V, − ⊕ 0 = − u u u → u 5. Para todo − en V, hay un vector en V → denotado por −− tal que u − ⊕ (−− ) = 0 → → uu

Multiplicación escalar: → 6. c − está en V u 7. c

Cerradura bajo la multiplicación escalar Propiedad distributiva Propiedad distributiva Propiedad asociativa Identidad escalar

→ → → → (− ⊕ − ) = c − ⊕ c − u v u v − = c − ⊕d − → → → 8. (c + d) u u u − ) = (cd) − → → 9. c (d u u → → 10. 1 − = − u u

Podemos asegurar que en todos los espacios vectoriales son posibles dos operaciones:Sumar dos vectores cualesquiera, y Todos los vectores pueden multiplicarse por escalares En otras palabras, puede trabajarse con combinaciones lineales. (S TRANG, 2007) ¿Cómo determinar si un conjunto dado es un espacio vectorial? Para verificar que un conjunto dado V con dos operaciones ⊕ y es un espacio vectorial real debemos mostrar que satisface todas las propiedades de la definición. (K OLMAN y HILL, 2006) 1. Debemos establecer si se cumplen 1 y 6 puesto que si alguna de las propiedades de cerradura falla, V no es un espacio vectorial. 2. Si se cumplen 1 y 2, es recomendable verificar a continuación la propiedad 4, es decir, establecer si existe el elemento cero (o elemento neutro). Si no es así, V no es un espacio vectorial y no tiene sentido verificar las propiedades restantes. Definición2 (Subespacio vectorial). Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que satisface los requisitos de un espacio vectorial: las combinaciones lineales permanecen en el subespacio. Tiene tres propiedades Instituto Tecnológico de Zacatepec Ing. Nelson Mariaca

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1. El vector cero de V está en H. 2. H es cerrado bajo lasuma de vectores. Si se suman dos vectores cualesquiera en el subespacio, x + y está en el subespacio. 3. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Si cualquier vector x en el subespacio se multiplica por cualquier escalar c, cx está en el subespacio. Se van a desarrollar los procedimientos para representar cada vector en un espacio vectorial como una combinación lineal de un númeroselecto de vectores en el espacio. → Definición 3 (Combinación lineal de vectores). Un vector − en un espacio vectorial v − , − ,. . .,− en V si − puede → → → → V se denomina combinación lineal de los vectores u u u v
1 2 k

expresarse como

− = c − +c − +···+c − , → → → → v 2 u2 1 u1 k uk

donde c1 , c2 , . . . , ck son escalares. Definición 4 (Dependencia e independencia lineal). Un conjunto devectores S = − , − , . . . , − en un espacio vectorial V se denomina linealmente independiente → → → v1 v2 vk si la ecuación vectorial → → → c1 − 1 + c2 − 2 + · · · + c k − k = 0 v v v tiene solamente la solución trivial, c1 = 0, c2 = 0, . . . , ck = 0. Si también hay soluciones no triviales, entonces S se denomina linealmente dependiente. → → → E JEMPLO 1:Determine si los vectores − = (1, −2,...