espacios vectoriales

Páginas: 18 (4370 palabras) Publicado: 20 de abril de 2013
Espacios Vectoriales
Un espacio vectorial implica cuatro cosas
Dos conjuntos no vacios V y F y
Dos operaciones algebraicas llamadas suma de vectores y multiplicación por un
escalar.
Los objetos en el conjunto V son llamados vectores y los elementos en el conjunto
F son llamados escalares. De aqui en adelante F es el campo de los números reales
(R) o el de los números complejos (C)
la sumade vectores denotado por u+v es una operación entre elementos del conjunto
V; mientras que la multiplicación por un escalar, escrito como u es una operación entre
elementos 2 F y u 2 V:
De…nición 0.1. Decimos que V es un espacio vectorial sobre F si se cumple lo siguiente
1. u + v 2 V; para todo u; v 2 V
2.

u 2 V; para todo

2 F; para todo u 2 V

3. u + v = v + u; para todo u; v 2 V4. (u + v) + w = u + (v + w) ; para todo u; v; w 2 V
5. Existe un elemento neutro (cero) denotado por 0 2 V tal que
para todo u 2 V

u+0=u

6. Para cada elemento u 2 V existe un elemento denotado como
u + ( u) = 0
7.

(u + v) = u + v, para todo

2 F y para todo u; v 2 V
1

u 2 V tal que

8. ( + ) v = v + v; para todo ;
9. (

)v =

( v) ; para todo ;

2 F y para todo v 2 V2 F y para todo v 2 V

10. 1v = v; para todo v 2 V
Algunos espacios vectoriales importantes
Uno de los espacios vectoriales mas conocidos es el plano XY (plano cartesiano) sobre
el campo de los reales.
veamos porque
Primero, necesitamos dos conjuntos, los cuales hay que reconocerlos.
V = R2

F =R

Segundo, necesitamos dos operaciones, la suma de vectores y la multiplicación por unescalar, la que usualmente usamos y nos es muy familiar.
Dado dos elementos en el conjunto V
u = (a; b)

v = (c; d)

la suma (+) de…nida como
u + v = (a + c; b + d)
y la multiplicación por un escalar, dado

(1)

2 R; u 2 R2

u = ( a; b)

(2)

Ahora que tenemos claro los conjuntos y las operaciones que se asocian a un espacio
vectorial veremos que efectivamente el planocartesiano sobre el campo de los números
reales con las operaciones (1) y (2) es un espacio vectorial.
1. Sea u = (a; b) y v = (c; d) de (1) tenemos que
u + v = (a + c; b + d)
como a + c; b + d 2 R entonces u + v 2 R2
2. Sea

2 R; u = (a; b) 2 R2 de (2) tenemos que
u = ( a; b)

como ; a; ; b 2 R entonces a; b 2 R entonces u 2 R2
2

3. Sea u = (a; b) y v = (c; d) entonces
u + v = (a + c; b +d)
= (c + a; d + b)
= (c; d) + (a; b) = v + u
4. Sea u = (a; b) ; v = (c; d) ; w = (m; n) 2 R2 ; entonces
(u + v) + w = (a + c; b + d) + (m; n)
= ((a + c) + m; (b + d) + n)
= (a + (c + m) ; b + (d + n))
= (a; b) + (c + m; d + n)
= u + (v + w)
5. El elemento 0 2 R2 es el vector (0; 0)
6. Para todo u = (a; b) 2 R2 ; el elemento

u es el elemento

u = ( a; b)
7. Dado

2 R; u = (a; b); v = (c; d) 2 R2 ; tenmos
(u + v) =

(a + c; b + d)

(u + v) = ( (a + c) ; (b + d))
(u + v) = ( a + c; b + d)
(u + v) = ( a; b) + ( c; d)
(u + v) =
(u + v) =
8. Dado ;

(a; b) + (c; d)
u+ v

2 R; v = (c; d) 2 R2 ; tenemos
( + ) v = ( + ) (c; d)
= (( + ) c; ( + ) d)
= ( c + c; d + d)
= ( c; d) + ( c; d)
=

v+ v

3

9. Dado ;

2 R; v = (c; d) 2 R2 ; tenemos
(

)v =(

) (c; d)

= ((

) c; (

) d)

= ( ( c) ; ( d))
=

( c; d)

=

( (c; d)) =

( v)

10. El elemento 1 es el uno habitual.

Subespacios
De…nición 0.2. Un subconjunto W de un espacio vectorial V es lla,ado un subespacio
vectorial de V si W es tambien un espacio vectorial bajo la suma y multiplicación por
un escalar de…nido en V
Usualmente, para probar que un subconjunto esun subespacio no es necesario
probar todos los axiomas, porque ciertas reglas satisfechas en el espacio mas grande
son automaticamente satisfechas en cada subconjunto, si la suma de vectores y multipliación por un escalar es cerrado en el subconjunto.
Teorema 0.1. Un subconjunto no vacio W de un espacio vectorial V es un subespacio
si y solo si
u+v 2 W
u 2 W
para todo u; v 2 W y para...
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