Espacios Vectoriales
Páginas: 3 (576 palabras)
Publicado: 28 de septiembre de 2011
Espacios vectoriales euclidianos
Definición 1.6 Sea un espacio vectorial real (es decir, sobre el cuerpo de los número reales) de dimensión finita. Sea una aplicación que goza de lassiguientes propiedades:
El espacio vectorial real junto con tal aplicación se llama ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. Por abuso de lenguaje se habla del ``espacio vectorial euclidiano ''.
Notamos que laaplicación que satisface i), ii), iii)', iv)' es un producto escalar sobre .
En efecto, sea tal que: . En particular vale de donde, por el axioma iv)' . Se cumple pues el axioma iii) de productoescalar (o sea nuestro producto es no degenerado).
Así pues, un espacio vectorial euclidiano es un caso particular de un espacio de producto escalar.
El axioma iv)' dice que un espacio vectorialeuclidiano no posee ningún vector isótropo.
Observación Sean un espacio vectorial euclidiano y un subespacio arbitrario de . La restricción del producto escalar a satisface los axiomas i),ii), iii)', iv)' luego hace de un espacio vectorial euclidiano.
Es la única estructura de espacio vectorial euclidiano sobre que consideraremos. Diremos simplemente que un subespacio de unespacio vectorial euclidiano es también un espacio vectorial euclidiano.
Advertencia Una propiedad análoga a la precedente no rige en espacios de producto escalar generales. Si es un espacio de unespacio de producto escalar, la restricción del producto escalar a no satisface en general el axioma iii) de producto escalar. He aquí un contraejemplo:
Sea un espacio vectorial de dimensión 2sobre un cuerpo , provisto de una base . Si e definimos:
||(31) |
Este producto satisface patentemente...
Definición 1.6 Sea un espacio vectorial real (es decir, sobre el cuerpo de los número reales) de dimensión finita. Sea una aplicación que goza de lassiguientes propiedades:
El espacio vectorial real junto con tal aplicación se llama ESPACIO VECTORIAL EUCLIDIANO. Por abuso de lenguaje se habla del ``espacio vectorial euclidiano ''.
Notamos que laaplicación que satisface i), ii), iii)', iv)' es un producto escalar sobre .
En efecto, sea tal que: . En particular vale de donde, por el axioma iv)' . Se cumple pues el axioma iii) de productoescalar (o sea nuestro producto es no degenerado).
Así pues, un espacio vectorial euclidiano es un caso particular de un espacio de producto escalar.
El axioma iv)' dice que un espacio vectorialeuclidiano no posee ningún vector isótropo.
Observación Sean un espacio vectorial euclidiano y un subespacio arbitrario de . La restricción del producto escalar a satisface los axiomas i),ii), iii)', iv)' luego hace de un espacio vectorial euclidiano.
Es la única estructura de espacio vectorial euclidiano sobre que consideraremos. Diremos simplemente que un subespacio de unespacio vectorial euclidiano es también un espacio vectorial euclidiano.
Advertencia Una propiedad análoga a la precedente no rige en espacios de producto escalar generales. Si es un espacio de unespacio de producto escalar, la restricción del producto escalar a no satisface en general el axioma iii) de producto escalar. He aquí un contraejemplo:
Sea un espacio vectorial de dimensión 2sobre un cuerpo , provisto de una base . Si e definimos:
||(31) |
Este producto satisface patentemente...
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