Espacios Vectoriales

ESPACIO VECTORIAL
Definición:

Sea (K, +, () un cuerpo. Diremos que un conjunto [pic]dotado de una operación interna + y otra externa ( sobre el cuerpo [pic]tiene estructura de espacio vectorial si cumple las siguientes propiedades:
1. (E, +)es un grupo abeliano
2. ( es una operación que va del producto cartesiano K x E en el conjunto [pic]:
[pic]
verificando las siguientespropiedades:
2.1. Distributiva respecto de la suma de vectores: [pic]
2.2. Distributiva respecto de la suma de escalares:
[pic]
2.3. Asociativa mixta:
[pic]
2.4. Producto por el elemento unidad del cuerpo: [pic]

Siguiendo esta definición de lo que es un espacio vectorial, a partir de las propiedades que todos sabemos de la suma y producto de números reales (sabemos que(R, +, () es un cuerpo, lo que implica, en particular, que (R, +) y (R*, () son grupos), se demuestra muy fácilmente que, por ejemplo, el espacio [pic]de los vectores del plano con las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar con un tenemos:
[pic]
y
[pic]
Entonces se tiene que
[pic]
es un espacio vectorial sobre [pic].
Sin embargo, si ahora consideramos (R3, +, () estandodefinidas estas operaciones como sigue:
[pic] [pic]
se tiene que (R3, +, () no es un espacio vectorial sobre [pic], pues falla la propiedad de producto por el elemento de unidad del cuerpo, ya que
[pic]

ejemplos de espacios vectoriales

1) [pic], la recta numérica, con las operaciones habituales de adición y multiplicación.

2) Sea N el conjunto de los números naturales.Entonces [pic]n={v=(x1, x2, . . . , xn)|xi∈[pic],∀i∈[1,n]N}, con la adición y multiplicación por escalares definidas por:
(x1, x2,…, xn )+(y1,y2,…,yn ) = (x1+y1, x2+y2,…, xn+yn )

( x1, x2,…, xn ) = ( x1 , x2 ,…, xn )

3) El conjunto de las funciones reales continuas definidas sobre un intervalo [a,b]⊂ [pic],que denotamos por [pic]. Es decir, [pic]={f|f escontinua en [a,b]}. Las operaciones son:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(αf)(x)=αf(x)

∀f,g∈[pic],x∈[a,b],α∈ [pic].

Este es uno de los espacios de funciones más importante en Análisis Matemático.
4) [pic]mxn, el espacio de las matrices reales de orden mxn, con m, n ∈ N.
[pic]mxn = { A : A es una matriz real de orden mxn}. Las operaciones son:

A+B=C,aij+bij=cij ,B=αA,bij=αaij,

∀A,B,C∈[pic]mxn,(i,j)∈[1,m]x[1,n],α∈ [pic].

5) El espacio de las sucesiones reales

l2 = {v = (x1, x2, .. , xn, ...):[pic] < }, con las operaciones:

i) (x1, x2,...,xn,...)+(y1, y2,...,yn,...) = (x1 + y1 , x2 +y2,...,x + yn,...)

ii) α (x1 , x2 , ..., xn, ...) = ( α x1 , α x2 , ... , α xn, ...)∀(x1,x2,...,xn,..),(y1,y2,...,ym,..)∈l2, α∈[pic]

La verificación que todas las propiedades para la adición y multiplicación por escalares se cumplen es bastante simple en todos los casos, excepto quizás en el ejemplo 5. Veremos este caso como ejercicio. En realidad, la única dificultad consiste en demostrar que la suma de dos sucesiones en l2 es también una sucesión en l2. En efecto, si (x1,x2, .., xn, ...) e (y1 , y2 , ... ,yn) estánen l2 , entonces
[pic]|xn|2 < , [pic]|yn|2 <

Para la sucesión suma :
[pic]|xn + yn|2 [pic]

=[pic]|xn|2 + 2 [pic]|xn| |yn| +[pic]|yn|2

Pero: (|xn|-|yn|)2>0, luego:

| xn |2-2|xn||yn|+|yn|2 >0

|xn|2+|yn|2 >2|xn||yn|

así: [pic]|xn + yn|2 [pic]|xn|2 + ( [pic]|xn|2 + [pic]|yn|2 ) + [pic]|yn|2

= 2 [pic]|xn|2 + 2 [pic]|yn|2 <6) El espacio de las sucesiones reales convergentes c={v=(x1,x2,...): [pic]}, con las operaciones:

i) (x1, x2,.....)+(y1, y2,.....) = (x1 + y1 , x2 +y2,.....)

ii) α (x1 , x2 , ..., xn, ...) = ( α x1 , α x2 , .....)

∀(x1,x2,.....), (y1,y2,.....)∈c, ∀α∈[pic]

7) El espacio de las sucesiones reales convergentes a cero c0={v=(x1,x2, ...): [pic]}, con las...