espacios vectoriales

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL SAN RAFAEL

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Apuntes de Algebra y Geometr´
ıa
anal´
ıtica

Pr´cticos y Aplicaciones: Lic. Guillermo Daniel Garc´
a
ıa
Conceptualizaci´n: Ing. Hugo Garc´
o
ıa
MAYO 2010

Env´ cualquier sugerencia de cambio a la direcci´n:
ıe
o

ggarcia@frsr.utn.edu.ar

Por favor sea preciso en cuanto a la secci´n y el cambio o adendasugerida.
o

´
Apunte de Sistemas Din´micos: Algebra y
a
Geometr´ Anal´
ıa
ıtica
Guillermo D. Garc´ - Hugo A. Garc´
ıa
ıa
19 de abril de 2010

Cap´
ıtulo 1
Vectores
1.1.

Primeras definiciones

Figura 1.1 — Esquema y representaci´n de los vectores.
o

Algunos han visto el concepto de vector a un nivel medio, en ese contexto
se pueden haber visto varias definiciones, todasbasadas en la idea de que un
vector es una especie de flecha. Con esta entidad se pueden haber aprendido
algunas operaciones.
1

Comencemos repasando y redefiniendo los conceptos geom´tricos que tee
nemos de los vectores.
Definici´n 1.1.1 Definici´n Geom´trica. Dados dos puntos en el espao
o
e
cio P y Q, definimos como segmento de recta dirigido P Q como el segmento
que va desde P hasta Q.Nota: Notemos que P Q es distinto que QP que tienen direcciones distintas.
En el segmento P Q se llama, a P punto inicial, y punto terminal a Q. Las
dos propiedades m´s importantes de un segmento de recta orientado son: su
a
magnitud (longitud) y su direcci´n.
o

Figura 1.2 — Un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes. Todos
ellos son distintas representaciones de un unicovector
´

.

Definici´n 1.1.2 El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos
o
equivalentes a un segmento de recta dirigido dado se llama vector. Cualquier
segmento de recta en ese conjunto se llama una representaci´n del vector.
o
Definici´n 1.1.3 Definici´n geom´trica de suma de vectores. Dados dos
o
o
e
vectores A y B, diremos que el vector C = A + B es el vector dado por laregla
de adici´n del paralelogramo. Ver figura (1.3).
o
2

Figura 1.3 — Representaci´n gr´fica de la suma de vectores. El vector C (en rojo)
o
a
es la suma de los vectores A y B

Veamos ahora c´mo definir a los vectores desde el punto de vista matem´tio
a
co y formal. Para esto definiremos antes qu´ es un espacio vectorial y luego
e
diremos que los vectores son las entidades que pertenecena ese conjunto.
Definici´n 1.1.4 Un espacio vectorial consta de lo siguiente:
o
1. Un cuerpo F de escalares
2. Un conjunto V de objetos llamados vectores
3. Una regla (u operaci´n) llamada adici´n que asocia a cada par de vectores
o
o
α, β ∈ V un vector α + β ∈ V , que se llama vector suma, pero esta
operaci´n debe cumplir:
o
a) La adici´n es conmutativa: α + β = β + α
o
b) La adici´nes asociativa: (α + β) + γ = α + (β + γ)
o
c) Existe un unico vector 0 ∈ V , llamado vector nulo, tal que α+ 0 = α
´
para todo α ∈ V
d ) Para cada vector α ∈ V , existe un unico vector −α ∈ V (vector
´
opuesto), tal que α + (−α) = 0

3

4. Una regla (u operaci´n), llamada multiplicaci´n por un escalar que asocia
o
o
a cada escalar c de F y cada vector α de V un vector cα ∈ V ,llamado
producto de c y α de modo que esta operaci´n debe cumplir:
o
a) 1α = α∀α ∈ V
b) (c1 c2 )α = c1 (c2 α)
c) c(α + β) = cα + cβ
d ) (c1 + c2 )α = c1 α + c2 α
Luego de esta dif´ definici´n lo mejor es ver un ejemplo (de hecho el
ıcil
o
ejemplo m´s utilizado1 ).
a
Ejemplo 1.1.1 Para definir un espacio vectorial tenemos que dar todas las
partes que nos pide la definici´n:
o
1. El cuerpoutilizado ser´n los n´meros reales (F ≡
a
u

).

2. Los vectores ser´n pares ordenados de la forma (x, y)/x, y ∈
a
3. La regla de adici´n de vectores es: (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 +
o
y2 ) (verifique el lector que esta definici´n cumple con las propiedades
o
requeridas)
4. La regla de multiplicaci´n por un escalar es: c(x, y) = (cx, cy) (verifique
o
el lector que esta...