Espacios vectoriales

Espacios Vectoriales
1.- Definición de un sub espacio vectorial y sus propiedades 
Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.
Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicaciónpor un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.
Sea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:
i)
ii)
Consecuencias
hereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como consecuencia tenemos que es un espaciovectorial sobre .
Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se pueden generar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estos nuevos espacios vectorial

2.- Propiedades de vectores, combinación lineal , dependencia e independencia lineal

Un vector es todo segmento de rectadirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dadapor la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posiciónde un punto cualquiera con exactitud.
El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de losejes del sistema de referencia.
Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado.
Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado.
Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado.
Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Combinaciónlineal

Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial,
S={ µ 1, µ 2,..., µ n}

Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores

S = { µ 1, µ 2,..., µ n}
si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera .

El vector es combinación lineal de losvectores S s si tal que:

Ejemplo:
Sea , espacio Vectorial
S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}
Combinación Lineal:
---> 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2)
---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (18,5, 13)
 
Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de la siguiente manera:
=0
Se nosformara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos opciones por el hecho de ser un sistema de ecuaciones homogéneo:
Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los vectores es combinación lineal de otros.
Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es combinación lineal de los otros.

Por Ejemplo:
Determine si es combinación lineal.
S = {(1,0) , (0,1)}
ą ( 1, 0 )...