Espacios vectoriales

Examen Parcial M´todos Matem´ticos 1 e a

vectores, tensores y coordenadas

Coordenadas Vectores y Tensores M´todos Matem´ticos de la F´ e a ısica 1 Examen Mayo 2005 Nombre 1. Dados Tji , ai y bi ∈ E 3 con  1 0 3 Tji =  3 4 1  ; 3 1 4   5 a= 2  −5  y  −2 b= 5  4 

a) Suponga que Tji , a y b est´n expresados en coordenadas cartesianas, calcule Aij ai bj , Sij ai aj , a Aij bi bj. (3 puntos) Donde Sij y Akl son, respectivamente, las partes sim´trica y antisim´trica del tensor Tji y la e e m´trica en coordenadas cartesianas viene dada por e   1 0 0 gij =  0 1 0  0 0 1 Tendremos que       1 0 3 1 3 3 2 3 6 1 1  3 4 1  +  0 4 1  =  3 8 2  Sij = (Tij + Tji ) = 2 2 3 1 4 3 1 4 6 2 8 N´tese que la expresi´n matricial para Tij ≡ gik Tjk es la misma que paraTji debido o o la m´trica en este espacio. Del mismo modo e      1 0 3 1 3 3 0 −3 1  1 3 4 1  −  0 4 1  =  3 0 Aij = (Tij − Tji ) = 2 2 3 1 4 3 1 4 0 0 por lo tanto  1 ai Aij bj = 2 5 2 −5   0 −3 0 −2  3 0 0   5  = − 87 2 0 0 0 4  1 ai Sij aj = 2 5 2 −5   2 3 6 5  3 8 2  2  = 1 6 2 8 −5 a la forma de  0 0  0

bi Aij bj = 0 b) Suponga ahora que esos mismos Tji , a yb est´n expresados en coordenadas cil´ a ındricas. Luis A. N´nez u˜ Universidad de Los Andes, M´rida e 1

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1) Encuentre la expresi´n para b en coordenadas esf´ricas. (3 puntos). o e Al expresar b en cil´ ındricas tendremos que b = −2 uρ + 5 uϕ + 4 uz con lo cual para expresar ˆ ˆ ˆ b en esf´ricas podemos proceder dedos forma. e La primera forma es transformando las componentes al conocer como transforman las co∂ xi ˜ ordenadas. Es decir conociendo xi = xi (˜m ) y xj = xj (xm ) expresar ˜i = ∂ xk bk . Dado x ˜ ˜ b que   ρ = r sen θ x (ρ, ϕ) = ρ cos ϕ = x (r, ϕ, θ) = r cos ϕ sen θ ⇒ ˜ ˜ y z = r cos θ  ϕ=ϕ ˜ equivalentemente, r= por lo tanto  ˜ ˜i = ∂ x bk =  b  ∂ xk   ˜i =  b  √
i ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x1 ˜x1 x2 ˜ x1 x3 ˜ x1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x1 ˜ x2 x2 ˜ x2 x3 ˜ x2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x1 ˜ x2 x2 ˜ x3 x3 ˜ x3

ρ2 + z 2 ; 

θ = arctan

ρ z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ r ρ ϕ ρ θ ρ

ϕ=ϕ ˜   −2  5   4   −2  5   4

  −2   5 =  4 √  

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r ϕ ϕ ϕ θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r z ϕ z θ z

ρ2 +z 2 ∂ ρ ∂ ϕ ∂ ρ ρ ∂ arctan( z ) ∂ ρ ∂

ρ2 +z 2 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ ρ ∂ arctan( z ) ∂ ϕ ∂

√

ρ2 +z 2 ∂z ∂ ϕ ∂ z ∂ arctan( ρ ) z ∂ z ∂

  √ ρ −2 ρ2 +z 2   5  =   0  z 4 2 2
ρ +z

0 1 0

√

z ρ2 +z 2

−ρ ρ2 +z 2

0

por lo tanto en esf´ricas e   −2 sen θ + 4 cos θ  = (−2 sen θ + 4 cos θ) ur + 5 uϕ + − 5 b= ˆ ˆ −2 cos θ − 4 sen θ r r

2 cos θ 4 sen θ + r r

uθ ˆ

la otra forma es expresar la base ortonormal cil´ ındrica en t´rminos de la base ortonormal e esf´rica.Otra vez, utilizamos la base cartesiana como intermediaria. Esto es: e   ı ˜ˆ ˜ ˆ˜ uρ = cos ϕ ˆ + sen ϕ ˆ;  ˆ ˜ı ˜  ˆ = cos ϕ uρ − sen ϕ uϕ ˆ = sen ϕ uρ + cos ϕ uϕ  ˜ˆ ˜ ˆ˜ uϕ = − sen ϕ ˆ + cos ϕ ˆ ⇔ ˆ˜ ˜ı ˜  ˆ  ˆ k = uz ˆ uz = k ˆ y parecido en esf´ricas e   ˆ ı ˆ ˆ ˆ ur = cos ϕ sin θ ˆ + sin ϕ sin θ ˆ + cos θ k  ˆ ı   ˆ = cos ϕ sin θ ur + cos ϕ cos θ uθ − sin ϕ uϕ ˆ = sin ϕ sin θ ur+ sin ϕ cos θ uθ + cos ϕ uϕ  ˆ ˆ ˆ uϕ = − sin ϕ ˆ + cos ϕ ˆ ˆ ı  ⇔  ˆ ˆ  k = cos θ ur − sin θ uθ ˆ ˆ uθ = cos ϕ cos θ ˆ + sin ϕ cos θ ˆ − sin θ k ˆ ı  con lo cual uρ = cos ϕ (cos ϕ sin θ ur + cos ϕ cos θ − sin ϕ uϕ ) + sen ϕ (sin ϕ sin θ ur + sin ϕ cos θ uθ + cos ϕ uϕ ) ; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ uρ = sin θ ur + cos θ uθ ˆ ˆ ˆ uϕ = uϕ ˆ˜ ˆ uz = cos θ ur − sin θ uθ ˆ ˆ ˆ Luis A. N´nez u˜ Universidad deLos Andes, M´rida e 2

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entonces b = −2 uρ + 5 uϕ − +4 uz = −2 (sin θ ur + cos θ uθ ) + 5 (ˆϕ ) + 4 (cos θ ur − sin θ uθ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u ˆ ˆ finalmente b = (−2 sin θ + 4 cos θ) ur + 5ˆϕ − (2 cos θ + 4 sin θ) uθ ˆ u ˆ 2) Encuentre la expresi´n para Aij ai bj en coordenadas esf´ricas (3 puntos) o e La expresi´n para ai...