Espacios vectoriales

´ ´ EJERCICIOS DE AUTOEVALUACION. MATEMATICAS I. Espacios Vectoriales 1. ¿Cu´l de los siguientes subconjuntos de R3 es un subespacio a vectorial de R3 ? a) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 = 2}; b){(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x2 − 4 = 0}; 1 c) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x1 + x2 = 8}; d) {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | 5x1 + 2x2 + x3 = 0}. 2. Se consideran los subespacios vectoriales de R3 : F = {(x1 , x2 , x3 )∈ R3 | x1 = 0} Se verifica: a) son subespacios vectoriales independientes; b) son subespacios vectoriales suplementarios en R3 ; c) F + G = F ; d) F + G = G. 3. ¿Cu´l de los siguientes subconjuntos de R3no es un subespacio a af´ de R3 ? ın a) {(1, 1, 1)}, ˘ ¯ b) (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x2 + x2 + x2 = 0 , 1 2 3 ˘ ¯ c) (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x2 = 1 , 1 d) {(0, 0, 0)}. 4. Sea F = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 + x2 − 5x3 = 0}. Se verifica: a) F no es un subespacio vectorial de R3 ; b) F no es un subespacio af´ de R3 ; ın c) F = R(1, 1 − 5); d) F = R(5, 0, 1) + R(−1, 1, 0). 5. Si en R3 el vector (2, 3, 0)es igual a una combinaci´n af´ de o ın los vectores (a, 0, 0), (0, 1, 1), (0, a, 1), entonces: a) a = 1/2, c) a = 1, b) a = 2, d) ninguna de las anteriores. y G = R(0, 1, 2).

6. Sean los vectores(−2, 2, 1), (0, 2, 3) y (1, 0, a) de R3 , donde a es un par´metro real. Se verifica: a a) son linealmente independientes si a = 1; b) son linealmente dependientes si a = 1; c) son linealmenteindependientes si a = 4; d) son linealmente dependientes si a = 4. 7. Considere los vectores (1, 1, −1), (−2, 3, 4) y (5, 0, 1) de R3 . Se verifica: a) forman una base de R3 , b) no generan R3 , c) sonlinealmente dependientes, d) ninguna de las anteriores.

8. Dada la base B = ((1, 1), (1, 0)) de R2 , las coordenadas α y β del vector (5, 3) en B son: a) α = 5 y β = 3, c) α = 3 y β = 2, b) α = 3 y β = 5,d) α = 2 y β = 3.

9. Consideremos el siguiente sistema de vectores de R3 : ((1, 3, 4), (0, 1, 3), (1, −1, 2), (4, 7, a)), donde a ∈ R. La dimensi´n del subespacio vectorial de R3 o generado por...