Espacios vectoriales

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA
“JOSÉ MA. MORELOS Y PAVÓN”

ÁLGEBRA LINEAL
ESPACIOS VECTORIALES
Morelia, Mich. 2010-12-09

CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN …………………………………………………….. 3
2. ESPACIOS VECTORIALES
2.1 Definición de espacios vectoriales …………………………….. 4
2.2 Propiedades básicas (axiomas) ……………………………….….. 4
2.3 Espacio vectorial real R2 yR3……………………….……….. 5
2.5 Subespacios vectoriales ………………………….………………… 5
2.6 Combinación lineal, dependencia e independencia
Lineal …………………………………………………………………………… 6
2.7 Bases y dimensión……………………………………………………. 6
2.8 Rango de una matriz…………….………………………..………… 6
2 Aplicación………………………………………………………………………….. 7
3 Conclusión………………………………………………………………………... 9
4 Bibliografía……………………………………………………………………... 9

1.INTRODUCCIÓNTanto en el mundo económico empresarial como en un contexto científico general el desarrollo de métodos adecuados para ordenar y tratar la información se revela como una herramienta imprescindible de cara a mejorar la eficiencia y la competitividad. Una de esas herramientas es el álgebra lineal, rama importante de las matemáticas por su nivel de aplicación.
Específicamente, los ESPACIOS VECTORIALEShan sido considerados como tema núcleo de dicha rama, porque dentro de su concepto se han incluido aspectos fundamentales de matemáticas y otras disciplinas. Para comprender esto, es necesario hacer una breve referencia a los antecedentes históricos del concepto VECTOR.
Había transcurrido la mitad del siglo XVIII, cuando se introdujo un concepto elemental de vectores, pero no fue hasta 1888 quese detalló y se volvió trascendente. Aún así, tomó varios años más comprender la importancia y generalidad de las ideas involucradas en él. Ahora esa idea puede ser utilizada para describir fuerzas y aceleraciones, funciones potenciales de electromagnetismo y estados de sistemas en mecánica cuántica, por mencionas algunos de los ejemplos que más requieren de este descubrimiento.
No obstante,demostraremos a continuación que en el ramo empresarial, administrativo y económico también podemos encontrar áreas de aplicación con la única finalidad de hacer un uso correcto de las herramientas que nos ha facilitado la ciencia.
Para efectos de una mejor y más rápida comprensión del tema, se debe mencionar lo siguiente:
La palabra escalar será utilizada para designar una magnitud. Éstoscaracterizan al espacio vectorial, puesto que si los escalares utilizados pertenecen a los números reales, será un espacio vectorial real, en otro caso, si los escalares pertenecen a números complejos, se llamará espacio vectorial complejo.
El término vector se deberá entender como un elemento de un espacio vectorial determinado y no solo como “la figura de una línea con con magnitud, dirección ysentido”.

2.ESPACIOS VECTORIALES
* 2.1 DEFINICIÓN: Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar, que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuación.

* 2.2 PROPIEDADES BÁSICAS (AXIOMAS)

i. Si x V y y V, entonces x + y V (propiedad de la cerradura).
ii. Si x y yestán en V, entonces x + y = y + x (propiedad de la conmutatividad en la suma de vectores).
iii. Para todos x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma).
iv. Existe 0 V, tal que 0 + x = x (propiedad del elemento neutro aditivo).
v. Si x V, existe -x en V, tal que x + (-x) = 0 (propiedad del inverso).
Con respecto a la operación (*):
vi. Si x V, y α es unescalar, entonces αx V( V es cerado para la multiplicación escalar).
vii. Si x y y están en V, y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva).
viii. Si x V, y α y β son escalares, entonces (α+β) x = αx + βx (segunda ley distributiva).
ix. Si x V, y α y β son escalares, α(βx) = αβx (ley asociativa de la multiplicación por escalar)....