espacios vectoriales

Espacios Vectoriales
Espacio vectorial real:
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación:
Axiomas de un espacio vectorial:
I. Si X V y Y V, entonces X + Y V (cerradura bajo la suma).
II. Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+ z= x+ (y+z) (ley asociativa de la suma de vectores).
III. Existe un vector 0 V tal que para todos x V, x + 0=0+x=x (el 0 se llama vector cerrado o idéntico aditivo).
IV. Si X V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0 (-x se llama inverso aditivo de x).
V. Si x y y están en V, entonces x + y= y + x (ley conmutativa de la suma de vectores).
VI. Si x V y es un escalar, entonces V(cerradura bajo la multiplicación por un escalar).
VII. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (primera ley distributiva).

VIII. Si x son escalares, entonces (segunda ley distributiva).

IX. Si x son escalares, entonces (ley asociativa de la multiplicación por escalares).

X. Para cada vector .





ESPACIO Kn
Sea K un cuerpo arbitrario. La notación Kn se usafrecuentemente para designar el conjunto de todas las n-p de los elementos de K. Aquí Kn se ve como un espacio vectorial sobre K, en el que la suma vectorial y el producto por un escalar se define según.
ESPACIO DE MATRICES Mm, n.
La notación Mm, n, o simplemente M, se utilizara para designar el conjunto de todas las matrices m*n sobre un cuerpo arbitrario K.Mm, n., es un espacio vectorial sobre K conrespecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un escalar.
ESPACIO DE POLINOMIOS P (t)
Denotamos por P (t) el conjunto de todos los polinomios
ɑ0 +ɑ1 t+ɑ2, t 2+...+ ɑn, t n
Con coeficientes ai en algún cuerpo k. P(t) es un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios producto de un polinomio por una constante.Subespacios de E. V. y sus propiedades
Subespacio:
Sea H un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V.
Teorema 1:
 Subespacio:
Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dosreglas de cerradura:














Combinación lineal
Se ha visto que todos los vectores v= (a,b,c) en R3 se puede escribir en la forma
v = ai + bj + ck
En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal d los tres vectores i, j y k. De manera más general, se tiene la siguiente definición:
Combinación lineal:
Sean v1,v2,…,vn. Vectores en un espacio vectorial V. Entoncescualquier vector de la forma:
a1v1 + a2v2 + … + anvn
donde, a1,a2,…, an son escalares de denomina una combinación lineal de v1,v2,…vn.














Independencia Lineal
Definición:
Los vectores v1,v2,…., vk es un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V es una combinación linal de v1, v2,…., vk. Además, si estos vectores son distintos y los denotamos como un conjuntoS= , entonces también decimos que el conjunto S genera a V, o que , genera a V, o que S= V.
El procedimiento para verificar si los vectores generan al espacio vectorial V es el siguiente:
Paso 1: se elige un vector arbitrario en v en V.
Paso 2: se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados. Si lo es, entonces los vectores dados generan a V. Si no lo es, entonces no generana V.
Ejemplo:
Sea V el espacio vectorial R3 y sean:
V1= (1,2,1) V2= (1,0,2) y V3= (1,1,0)
Paso 1._ Sea v= (a, b, c) cualquier vector en R3, donde a, b y c son números reales arbitrarios.
Paso 2._ Debemos ver si existen constantes c1, c2 y c3 tales que
C1v1 + c2v2 + c3v3 = v
Esto conduce al sistema lineal:
c1 + c2 + c3 =a
2c1 + c3 = b
c1 + 2c= C
Una...