Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES
La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de doscomponentes en el plano, de tres componentes en el espacio...
Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3.
En Matemáticas, tratamos de abstraer laspropiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.
Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es elsiguiente:
• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;
• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.
Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades,que observamos en los vectores de ℜ 2 y de ℜ 3 :
En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u,v,w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegasdesignarán escalares.
Propiedades de la suma de vectores.
• Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w)
• Conmutativa: v+u=u+v.
0K 0K
• Existe un elemento neutro, el vector , tal que + v = v para cualquier vector v.0K
• Para cada vector v existe un elemento opuesto, –v, que sumado con él da .
Propiedades del producto de un vector por un escalar.
• Asociativa: (α v) = ( ) v
β βα
• Distributivas:
ƒ Respectode la suma de escalares: (α + ) v = α v + v
β β
ƒ Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u +α v
• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1· v = v para cualquier vector v.Definición: espacio vectorial.
Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos detal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)
Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.
• Otras...