Espacios Vectoriales

Moisés Villena Muñoz

Cap. 5 Espacios Vectoriales

5
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Definición de Espacio Vectorial Propiedades Subespacios Subespacio generado Dependencia e Independencia Lineal Bases y Dimensión Espacios asociados a matrices Cambio de base
Bases ortonormales

OBJETIVOS:
        

Conceptualizar Espacios Vectoriales. Determinar si un Conjunto es o noEspacio Vectorial Determinar si un Subconjunto es o no Subespacio Vectorial Encontrar Subespacios Generados. Determinar si un conjunto de vectores es Linealmente Independiente o no. Determinar Bases y la dimensión de Subespacios Vectoriales. Encontrar Espacios Filas, Espacios Columna, Núcleo e Imagen de una matriz. Obtener el vector de coordenadas de un vector con respecto a diversas bases empleandoMatrices de Transición. Hallar Bases Ortonormales.

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Cap. 5 Espacios Vectoriales

El lector ya se habrá percatado, por los cursos de Matemáticas Básicas, que los conjuntos con los cuales trabajaba son estructuras en los cuales se definen dos operaciones básicas “Suma entre sus elementos” y “Multiplicación por escalares”. Se trata ahora de realizar un estudio másriguroso.

5.1 Definición de Espacio Vectorial Un conjunto no vacio V junto con dos operaciones "Suma" y "Multiplicación por Escalar", denotadas como  y respectivamente, constituyen un Espacio Vectorial Real si se satisfacen los 10 axiomas siguientes:
1. Si sumamos dos elementos de V , el resultante debe ser elemento de V . Es decir, si v1  V  v 2  V , entonces  v1  v 2   V . La Sumadebe ser Cerrada

v1 , v 2  V ; v1  v2  v2  v1 . La Suma debe ser Conmutativa. 3. v1 , v 2 , v3  V ; v1   v 2  v3    v1  v 2   v3 . La Suma debe
2.

ser

Asociativa. 4. Debe existir un elemento en V , denotémoslo como 0 , tal que sumado con cualquier elemento de V el resultante sea el mismo elemento. Es decir, 0  V, v  V , tal que v  0  0  v  v . Aquí 0 es llamado“Nulo”, “Idéntico”, o “Neutro” 5. Para cada elemento de

V debe existir un elemento, denotémoslo como v , de

modo que al sumarlos resulte el Neutro. Es decir,

v    v   0 . Donde

 v 

v  V,   v  ,
v”

tal que

es llamado “Inverso Aditivo de

6. La Multiplicación por Escalar debe ser Cerrada. Es decir, si v  V    , entonces  v   V . Multiplicando a cualquierelemento de V por un número real el resultado debe ser elemento de V . 7. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para su Suma. Es decir,



 v1  v2   

v1  

v2 . Donde  

8. La Multiplicación por Escalar debe ser Distributiva para la suma de números reales. Es decir,     v   v   v . Donde  ,   . 9. La Multiplicación por Escalar debe ser Asociativa. Es decir, 10. El número



v  



v  . Donde  ,  

1 debe ser el “ Idéntico Multiplicativo” . Es decir, 1 v  v

A los elementos de los Espacios Vectoriales se los denomina Vectores. De acuerdo a lo definido los conjuntos conocidos con las operaciones Suma convencional y Multiplicación por Escalar convencional serían Espacios Vectoriales.
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Ejemplo 1
V  (El conjunto de los Números Reales) Con las operaciones usuales de suma y multiplicación entre números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 2
V
2





 x      / x   y  

   y   (El conjunto de pares ordenados)  

Con las operaciones usuales de suma entre pares ordenados y multiplicación por números reales se cumpliríanlos 10 axiomas.

Ejemplo 3
V
3

 x      y  / x   z   

 y

   z   (El conjunto de ternas ordenadas)  

Con las operaciones usuales de suma entre ternas ordenadas y multiplicación por números reales se cumplirían los 10 axiomas.

Ejemplo 4
 x1     x2    / x1   x3   x4        x4   (El conjunto ordenado de 4   

V

4...