Espacios vectoriales

Espacios Vectoriales
Definición
Un espacio vectorial es un objeto básico en el algebra lineal, compuesto de elementos vectoriales mejor conocidos como vectores, estos se pueden multiplicar por un escalar o sumarse entre ellos, los vectores proporcionan una indeterminada forma que deja atrás las coordenadas, un espacio vectorial no puede estar vacio. Un espacio vectorial es un conjunto deobjetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.
Un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:
• suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vectorv + w
• producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.
Propiedades
Unicidad del vector nulo
Unicidad del opuesto de un vector
Producto por el escalar cero 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.
Producto de un escalar por el vector nuloa 0 = 0
Opuesto del producto de un vector por un escalar - (a v) = (-a) v = a (-v)
SUBESPACIO

Definición
H es una parte(no vacia) del espacio vectorial V, y H a través de operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas por V, se dice que H es un subespacio de V, H hereda operaciones del espacio vectorial padre(V).
Propiedades de un Vector
*Propiedadasociativa de la suma
u + (v + w) = (u + v) + w

* Propiedad conmutativa de la suma
v + w = w + v

*Existencia de elemento neutro o nulo de la suma
Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.

* Existencia de elemento opuesto o simétrico de la suma
Para todo v ∈ V, existe un elemento -v ∈ V, llamado opuesto de v, de forma que v + (-v) =0.

*Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto a la suma de vectores
a (v + w) = a v + a w

*Propiedad distributiva del producto por un vector respecto a la suma de escalares
(a + b) v = a v + b v

*Propiedad asociativa mixta del producto por un escalar
a (b v) = (ab) v[nb 1]

*Existencia de elemento unidad del producto por un escalar
1 v = v, donde 1 es laidentidad multiplicativa en K

Combinación Lineal
Es la suma de vectores multiplicando por escalares.
Las combinaciones lineales de unos vectores que están dados por un subespacio vectorial, donde se escogieron estos vectores.
También se habla de combinación lineal de ecuaciones, por ejemplo al resolver un sistema de ecuaciones.
Dependencia e Independencia Lineal
Dentro de la algebralineal son centrales la dependencia e independencia de vectores.
Se dice que los vectores son lineamientos dependientes si existen n escalares no todos cero tales que:
C1 v1 + c2 v2 + ... cnvn = 0
Si los vectores no son lineamientos dependientes, se dice que son lineamientos independientes.
Teorema 1
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiploescalar del otro.
Teorema 2
Un conjunto de n vectores en Rm siempre es linealmente dependiente si n>m.
Base y Dimencion de un Espacio Vectorial
Base: Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si
v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente
v1, v2, . . ., vn genera V.
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en RnBase canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . .,en; en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.
Se dice que un conjunto ordenado B es base de un espacio vectorial V si se cumplen las siguientes condiciones:
• Todos los elementos de la base B deben ser linealmente independientes.
• Todos los...