espacios vectoriales

ESPACIO VECTORIAL

En algebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una Xoperación interna (llamada suma, definida para loselementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementosde un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.


DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial sobre un cuerpo  (como el cuerpo de los númerosreales o los números complejos) es un conjunto  no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:
8) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tengala propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir
  
4) tenga elemento opuesto, es decir
 
y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:
5) tengala propiedad asociativa:
  
6)  sea elemento neutro del producto:
 
7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:
  
8) tenga la propiedad distributiva del productorespecto la suma de escalares:
  












AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

 Si x V y Y V, entonces x+y V (cerradura bajo la suma)
 Para todo x,y y z en V, (x+y) = x + (y +z) (leyasociativa de la suma de vectores)
 Existe un vector 0 
V tal que para todo x 
V, x+0 = 0+x=x
 (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)
 Si x V, existe un vector –x en V tal que x+ (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)
 Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)
 Si x 
V y a es un escalar, entonces a x 
- V ( cerradura bajo lamultiplicación por un escalar)
 Si x y y están en V y 
es un escalar, entonces 
(x +y) = 
x +
y (primera ley distributiva)
 Si x 
V y 
y 
son escalares, entonces (
+
)x = 
x+x...