Espacios Vectoriales

Unidad 4 espacios vectoriales
Definición de espacio vectorial.
Un espacio vectorial o espacio lineal es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estasdos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.
Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices ysistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología,permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Propiedades del Espacio Vectorial
Suma de vectores 
Regla del paralelogramo Se toman como representantes dos vectores con el origen en común, se trazan rectas paralelas a los vectoresobteniéndose un paralelogramo cuya diagonal coincide con la suma de los vectores.
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Resta de vectores

Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de los vectores.

Producto de un número por un vector

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes e independientes
Vectores linealmente dependientes
Varios vectoreslibres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector escombinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

Vectores linealmente independientes
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

Los vectores linealmente independientes tienendistinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, hay situaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto esta contenido en un conjunto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas laspropiedades de los axiomas hacen referencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial y por consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura.

Sea V = (V,+, ·) un espacio vectorial. Un subconjunto U de V (U ⊆ V ) que no es vacío se dice subespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U...