Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales
Definición  1.  Un  espacio  vectorial  real  V   es  un  conjunto  de  objetos,  llamados  vectores,  junto condos  operaciones  llamadas  suma  y  multiplicación   por   un   escalar  que  satisfacen  los  diez  axiomas enumerados  a  continuación.
i.  Si  x ∈ V   y   y ∈ V ,  entonces  x + y ∈ V
ii.  Para  todo  x, y, z ∈ V   ,   (x + y) + z = x + (y + z)iii.  Existe  un  vector  0 ∈ V   tal  que  para  todo  x ∈ V ,  x + 0 = 0 + x = x
iv.  Si  x ∈ V ,  existe  un  vector  −x ∈ V   tal  que  x + (−x) = 0
v.  Si  x, y ∈ V   entonces  x + y = y + xvi.  Si  x ∈ V   y   α  es  un  escalar,  entonces  αx ∈ V
vii.  Si  x  y   y  est´an  en  V   y  α  es  un  escalar,  entonces  α (x + y) = αx + αy
viii.  Si  x ∈ V   y   α,  β  son  escalares,  entonces  (α + β) x = αx + βxix.  Si  x ∈ V   y   α,  β  son  escalares,  entonces  α (βx) = (αβ) x
x.  Para  cada  vector  x ∈ V ,  1x = x

SubespaciosDefinición  2.  Sea  W  un  subconjunto  no  vacio  de  un  espacio  vectorial  V   y  suponga  que  W  es  en  sí un espacio  vectorial  bajo  las  operaciones  de  suma  y  multiplicaci´on  por  escalar  definidas  en  V .  Entonces  se dice  que  W  es  un  subespacio  de  V .Teorema 1.  Un subconjunto W  no vacio de un espacio vectorial V  es un subespacio de V  si se cumplen:

1.  Si  x ∈ W  y   y ∈ W ,  entonces  x + y ∈ W2.  Si  x ∈ W  y   α  es  un  escalar,  entonces  αx ∈ W

Ejercicios
En  los  siguientes  ejercicios  se  da  un  conjunto  junto  con  operaciones  de  adici´on  y  multiplicaci´on  porescalar.  Determinar  cu´ales  conjuntos  son  espacios  vectoriales  bajo  las  operaciones  dadas.  Para  aquellos
que no sean espacios vectoriales enumerar los axiomas que no se cumplen.
1.  El conjunto de todas las ternas de n´umeros reales (x, y, z) con las operaciones.
y2.  El conjunto de todas las ternas de n´umeros reales (x, y, z) con las operaciones.
y...