Espacios vectoriales

Ejercicios de espacios y subespacios vectoriales I.- En V=R2 se definen las siguientes operaciones : (i) (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) (ii) β(x,y)= (βx,y ) , β ЄR ¿Es V con esta operaciones unespacio vectorial real? Solución: sean α y ф Є R y u=(x,y) Є V. Entonces: P.d.q(α + ф)u=αu + фu (α + ф)u= (α + ф )(x,y)=( (α + ф)x,y) αu + фu=α(x,y) + ф(x,y)= (αx,y) + (фx,y)= ( (α + ф)x,2y) Luego (α + ф)u≠αu + фu y entonces V no es e.v sobre R II.-Demostrar que el siguiente subconjunto es subespacio vectorial del espacio vectorial dado. U1={(x,y) ЄR2/x+y=0} V=R2 Solucion: 1.- U1≠0
Ya que ,(0,0) ЄR.En efecto: 0+0=0

2.- sea u=(x1,y1), v=(x2,y2) entonces u+v ЄU1 En efecto: u+v=(x1,y1)+(x2,y2) u+v=(x1+x2,y1+y2) Pero, x1+x2+y1+y2 =(x1+x2)+(y1+y2) =0+0=0 Luego u+v Є U1

3.Sea u=(x1,y1) Є U1 y rescalar entonces r * u Є U1
En efecto: r*u=r*(x1,y1) r*u=(rx1,ry1) Pero, rx1+ry1= r*(x1+y1)=r*0=0 Luego, r*u Є U1 Por lo tanto, U1 es subespacio Vectorial de V.
Demostrar que W es subespaciovectorial W= {(a,b,c)/b=a +c} Para saber si es o no subespacio vectorial debemos ver que cumpla las siguientes condiciones. i) W≠0 ^ 0v ε W

ii) √(u,v ε W) ;(u+v) ε W iii) √(u ε W) ;( √α ε W)→( α u ε W)i) P.D . Ov ε W
Ov=(0,0,0) 0=0+0 ∆ Ov ε W

ii) u=(b,b+d,d) ε W
v=(p,p+q,q) ε W u+v=(b+p,(b+d)(p+q),d+q) u+v=(b+p,8b+p)+(d+q),d+q)

iii) u=(b,b+d,d) ε W
αεK αv=( αb, α(b+d), αd) ε W αv=( αb,αb+ α d, αd) ε W Propuestos

1.-Sea M={(x,y,z) / x+y+z=0}/ R3. Demostrar que es un espacio vectorial. ¿ Pertenecen los vectores (1,0,2), (1,1,-2) y (1,1,1) al espacio vectorial M ? ¿ Es M'={(x,y,z) /x+y+z=1} un subespacio vectorial de R3 ? 2. Consideremos los siguientes subespacios del mismo:

Demostrar que, efectivamente, V es un subespacio vectorial de M2(R). 3. Sea M2(R) el espacio vectorialde las matrices cuadradas reales de orden 2 y sea E el subconjunto de las matrices de la forma:

a) Probar que E es un espacio vectorial.
4.-Indicar cu´ales de los siguientes subconjuntos de Q4...