EspaciosMetricos

Espacios M´
etricos
Jorge Alberto Guccione
Juan Jos´e Guccione

´Indice general

Cap´ıtulo 1. Espacios m´etricos
Definici´
on y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
Producto de numerables espacios m´etricos . . . . . . . . . . . . . .
2
Espacios pseudom´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

Cap´ıtulo 2.

Bolas abiertas, bolas cerradas y esferas

1
1
67
13

1
2

Cap´ıtulo 3. Distancia entre conjuntos y di´ametro
Distancia entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di´ametro de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
19

1
2
3

Cap´ıtulo 4. Espacios normados
Definici´
on y primeros ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La bola unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Pseudonormas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
22
24

Cap´ıtulo 5.

27

Sucesiones

Cap´ıtulo 6. Topolog´ıa de espacios m´etricos
Conjuntos abiertos . . . . . . . . .
1.1
El interior de un conjunto . . . .
2
Conjuntos cerrados . . . . . . . . .
2.1
El conjunto de Cantor . . . . . .
2.2
La clausura de un conjunto . . . .
3
La frontera y el borde de un conjunto . .

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35
37
38
38
41

Cap´ıtulo 7. Funciones continuas, uniformemente continuas e isometr´ıas
Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funciones uniformemente continuas . . . . . . . . . . . . . .
Funciones de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Isometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .

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45
45
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1

1
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3
4

Cap´ıtulo 8.
1

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Espacios m´etricos separables

59

Cap´ıtulo 9. Espacios m´etricos completos
Definici´
on y primeros ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii

65
65

´Indicegeneral
2

1
2

Completaci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cap´ıtulo 10.

M´etricas Equivalentes

73

Cap´ıtulo 11.

El Teorema del punto fijo para contracciones

77

Cap´ıtulo 12. Conjuntos de primera y segunda categor´ıa
El Teorema de Baire. . . . . . . . . . . . . .
Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . .
2.2Funciones continuas sin derivada en ning´
un punto
2.3
Principio de acotaci´
on uniforme . . . . . . .
Cap´ıtulo 13.

1
2

69

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Compaccidad (Primera Parte)

83
83
84
84
85
87
89

Cap´ıtulo 14. Espacios conexos y espacios arco-conexos
Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
Espacios arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93
93
95

Cap´ıtulo 15.

97

Compaccidad (Segunda Parte)

Cap´ıtulo 16. Espacios de Banach
Espacios de Banach . . . . . . . .
Transformaciones Lineales . . . . .
2.1
El Espacio Dual . . . . . . .
2.2
Elementos Inversibles de L(E) .
2.3
El Teorema de la Funci´
on Abierta
3
Funciones Multilineales. . . . . . .
12

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Cap´ıtulo 17. C´
alculo Diferencial
Derivaciones entre Productos de Espacios
1.1
Diferenciales Parciales . . . . . .
2
El teorema de los incrementos finitos . .
3
El teorema de la funci´
on inversa . . . .

de
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1

iv

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101
101
103
107
112
114
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Banach .
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122
123
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Cap´ıtulo 1

Espacios m´
etricos

1.

Definici´
on y ejemplos
Un espacio m´etrico es un par (X, d), formado por un conjunto no vac´ıo X y una funci´on
d : X × X → R≥0...