espaciosTopologicos

Cap´ıtulo 2
Espacios Topol´
ogicos
2.4.

Conjuntos cerrados

Ligado ´ıntimamente con el concepto de conjunto abierto en un espacio
topol´ogico, est´a el concepto de conjunto cerrado.
2.4.1 Definici´on. Sea X un espacio topol´
ogico. Un subconjunto F de X es
un conjunto cerrado en X si su complemento, F c , es un conjunto abierto.
Hacemos notar que el conjunto vac´ıo y el mismo conjunto X son ala
vez abiertos y cerrados y que un subconjunto de X puede no ser abierto
ni cerrado como sucede por ejemplo con el conjunto {1} en el espacio de
Sierpinski.
La siguiente proposici´on establece algunasde las m´as importantes propiedades
de los conjuntos cerrados.
2.4.2 Proposici´
on. Sea X un espacio topol´
ogico.
1. ∅ y X son conjuntos cerrados.
2. Si F y K son conjuntos cerrados entonces F ∪K esun conjunto cerrado.
3. Si C es una familia de conjuntos cerrados entonces
junto cerrado.

1

F ∈C

F es un con-

Demostraci´on.
1. Que ∅ y X son conjuntos cerrados es una consecuencia inmediata dela
definici´on.
2. Por las Leyes de De Morgan, (F ∪ K)c = F c ∩ K c que es un conjunto
abierto porque as´ı lo son F c y K c .
3. Nuevamente por las Leyes de De Morgan,
es tambi´en un conjuntoabierto.

F ∈C

F

c

=

F ∈C

F c que

La uni´on arbitraria de conjuntos cerrados no siempre es un conjunto cerrado como lo muestra el siguiente ejemplo.
2.4.3 Ejemplo. Sea R el espacio de los n´
umerosreales con la topolog´ıa
1
donde n ∈ N, es
usual. La colecci´on de conjuntos de la forma −1, 1 −
n
una familia de conjuntos cerrados cuya uni´
on es el intervalo [−1, 1) que no
es un conjunto cerrado.

2Ejercicios
1. Determine cu´ales de los siguientes subconjuntos de R son cerrados justificando completamente su respuesta.
a) [−1, 1).
b) [1, ∞).
c)

1
:n∈N .
n

d)

1
: n ∈ N ∪ {0}.
n

e) Z.
f ) Q.g) R \ Z.
h) R \ Q.
2. Pruebe que en cualquier espacio m´etrico (X, d), cada bola cerrada
B[x, ] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ } es un conjunto cerrado.
3. SEan τ1 y τ2 dos topolog´ıas definidas sobre un...