Espaciovectorial

Introducción.
Hola hola! Bienvenido a mi guía de espacios vectoriales. La idea es explicar todas las cosas acá. Aunque les recomiendo leer cualquier libro de álgebra lineal, ahí sale bonito todo. (Generalmente) Brian Keith N.

Espacios Vectoriales
Primero que todo, necesitamos un poco de teoría. Además de un dominio de todo lo que es álgebra I, ESPECIALMENTE matrices. En caso de estarflaqueando en álgebra I o matrices… Pues bien… En términos simples... Cagaste. xD Veamos… ¿Qué mierda es un Espacio Vectorial? Primero, estoy seguro que conoces los vectores de física. Si esas flechitas qls. Pues bien esas flechas tienen propiedades… Si tu sumas dos flechas… TE DA OTRA FLECHA! Si tu multiplicas una flecha por un escalar… TE DA OTRA FLECHA!!! OMG! :O!!!! Pues bien, la idea detrás de losespacios vectoriales es extrapolar el concepto de vector físico a las matemáticas. Es decir… Los espacios vectoriales son conjuntos en los que se encuentran bien definidas las operaciones suma y multiplicación. ¿Qué quiero decir? Que la suma y la multiplicación de nuestros espacios vectoriales algebraicos son equivalentes a la suma y multiplicación de los vectores físicos. Los espacios vectorialesno están solos, además de los vectores esta el cuerpo, que es de donde salen los escalares. Generalmente es R. Pero nada impide que pueda ser C, N, Q, Z… O cualquier conjunto de números. Pero bueno… Prosigamos!

Las 8 propiedades!
De la suma: 1. Es conmutativa. A+B=B+A “El orden de los factores no altera el producto” alguna vez escuchaste esa wea? Pues aquí lo mismo. 2. Es asociativa.(A+B)+C=A+(B+C) Es decir que no importa cuantos paréntesis existan, dará igual. 3. Existe un elemento neutro llamado 0. A+0=A No creo que tenga que explicar que agregar nada a algo deja las cosas iguales. 4. Existe un elemento inverso. A+(-A)=0 Algo con su opuesto se destruye! Algo así como si hiciéramos chocar materia con antimateria. EL MUNDO SE DESTRUIRIA Y TODOS MORIRIAMOS! Excepto que aquí sonsimplemente dos vectores opuestos, lo que no es muy destructivo… Para la multiplicación. 1. Asociativa (a*b)*V=a*(b*V) Lo mismo que la suma, la cantidad de paréntesis no afecta el resultado. 2. Distributiva respecto a los vectores. a*(V+U)=a*V+a*U Por si no es evidente lo explicare con peras y manzanas. Digamos que tienes un árbol de peras(V) y uno de manzanas(U) y quieres regarlos.(a) Entonces RIEGASAMBOS ÁRBOLES! DUN DUN DUNNNN! 3. Distributiva respecto a los escalares. (a+b)*V=a*V+b*V Es el mismo concepto anterior solo que dado vuelta… Es decir que si tienes un árbol(V) y dos de esas weas pa’ regar…(a,b) Pues usas las dos. xD 4. Existe un elemento neutro llamado 1. 1*V=V Espero no tener que explicarte la tabla del 1! La tabla del 1 wn!

Ahora que sabemos que es un espacio vectorial, demosejemplos! Hmm… Pues bien, empezaremos con los ejemplos clásicos… 1. Las “ene-uplas reales” R1, R2, R3, R4, … , RN Me da una paja tremenda demostrar que son espacios vectoriales aquí. (Además que eso sale en los apuntes, en todos los libros de álgebra lineal, y blablablabla) Unos datos importantes. R1 es la recta. R2 el plano. R3 el espacio. R4-RN son hiperespacios, o no recuerdo que nombre teníanexactamente. Y por si lo notaste, los 3 primeros espacios vectoriales son el mundo en que vivimos, además de ser los mismos vectores que usamos en física! Lindo no? Se escriben como en física. (X1,X2,X3,…XN) 2. Las matrices! Ahhh las matrices, ya sean cuadradas o no cuadradas, son espacios vectoriales. Y créeme que esto nos seguirá por todo álgebra lineal, así que mejor aprendamos a quererlas.Una matriz cualquiera: a d g b e h c f i

Puede ser escrita de la misma forma que las ene-uplas reales. (a,b,c,d,e,f,g,h,i) Siendo posible extender el mismo razonamiento a matrices más pequeñas y más grandes. 3. Las funciones. Si wn, LAS FUNCIONES! Pues cumplen con todos los 8 axiomas. Estas no se pueden escribir como ene-uplas. 4. Los polinomios de grado N. Ya sean con coeficientes reales o...