Esperanza matemática parcial

CAPÍTULO 11
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ESPERANZA MATEMÁTICA PARCIAL
Sumario: 1. Introducción. 2. Esperanza matemática parcial en variables continuas. 2.1. Distribución
Normal. 2.2. Distribución Lognormal. 2.3. Distribución Gamma. 2.4. Distribución de WEIBULL. 2.5.
Distribución de GUMBEL del mínimo. 2.6. Distribución de GUMBEL del máximo. 2.7. Distribución de
PARETO. 2.8. Distribuciónempírica dada con una serie de frecuencias. 3. Truncamiento. 4.
Problema de inventario perecedero con demanda aleatoria. 5. Acumulativo de la variable. Curva
ABC. Índice de GINI. 6. Apéndice. 6.1 Demostraciones de las expresiones de la esperanza
matemática parcial para las distintas distribuciones. 6.1.1. Distribución Normal. 6.1.2. Distribución
Lognormal. 6.1.3. Distribución Gamma. 6.1.4Distribución de WEIBULL. 6.1.5. Distribución de
PARETO. 6.1.6. Distribución de GUMBEL del mínimo. 6.1.7. Distribución de GUMBEL del Máximo. 6.2.
Demostraciones de las expresiones del Índice de GINI para los modelos de PARETO y Lognormal.
6.2.1. Modelo de PARETO. 6.2.2. Modelo Lognormal. 7. Problemas.

1. INTRODUCCIÓN
Este capítulo y el siguiente tratan sobre un poderoso procedimiento deanálisis, casi
desconocido en nuestro medio, que permite resolver un conjunto importante de problemas, en
general de naturaleza económica, que fue propuesto por el estadístico estadounidense ROBERT
SCHLAIFER y desarrollado en sus obras (1967) que no fueron traducidas a nuestro idioma. Helo
aquí, por primera vez en una obra en idioma español.
Existen diversas aplicaciones, muchas de ellas denaturaleza económica, en las cuales
debemos tratar funciones de una variable aleatoria del siguiente tipo
y = b1 + b2x
x ≤ a1:
(11.1) a1 < x ≤ a2: y = b3 + b4x
x > a2:
y = b5 + b6 x
Se dice que y es función lineal por tramos de x. Las abscisas x=a1, x=a2, etc. se
denominan puntos de corte. Algunos ejemplos
* En Capital Federal y Gran Buenos Aires, el consumo domiciliario de electricidad sefactura del siguiente modo: Hasta 300 Kwh en el bimestre, un cargo fijo de 4,46$/bim más
0,081 $/Kwh; más de 300 Kwh, 16,29$/bim más 0,042 $/Kwh (Datos del año 2005).
* En Capital Federal y Gran Buenos Aires, el consumo domiciliario de gas se factura del
siguiente modo: Un cargo fijo de 7,74 $/bimestre más 0,143651 $/m3.
* En una obra civil, la empresa constructora tiene un plazo de n días paraconcluirla. Si se
atrasa, tiene una penalización de b $/día y si se adelanta recibe un premio de c $/día.
El problema fundamental que se quiere resolver es el cálculo de la media de la función y,
supuesto que conocemos la distribución de x. En ese caso, si x es una variable continua
(11.2) E [y(x)] = ∫ y ( x ) f ( x )dx
x

2

Si y está definida como en (11.1), tenemos
a
a
∞
1
2
E[y(x)]= ∫ (b1 + b2 x ) f ( x )dx + ∫ (b3 + b4 x ) f ( x )dx + ∫ (b5 + b6 x ) f ( x )dx =
−∞
a
a
1
2

(11.3)

a1

−∞

a2

−∞

a2

∞

∞

a1

a1

a1

a2

a2

= b1 ∫ f ( x )dx + b2 ∫ xf ( x )dx + b3 ∫ f ( x )dx + b4 ∫ xf ( x )dx + b5 ∫ f ( x )dx + b6 ∫ xf ( x )dx
b

Las integrales del tipo ∫ f ( x )dx se expresan en términos de la función de distribución
a

(izquierdao derecha), ya que
b

(11.4) ∫ f ( x )dx = F (b) − F ( a ) = G ( a ) − G (b)
a
b

Las integrales del tipo ∫ xf ( x )dx tienen fórmulas especiales, según la distribución de la
a

variable x. A tal efecto, definiremos:
x

∞

−∞

x

(11.5) H(x) = ∫ xf ( x )dx ; J ( x ) = ∫ xf ( x )dx
denominadas Esperanza Matemática Parcial (Izquierda y Derecha respectivamente). Se cumple
entreellas la siguiente relación:
(11.6) H(x) + J(x) = E(x) = µ
Tendremos entonces, en general
(11.7)

b

∫ xf ( x )dx = H (b) − H ( a ) = J ( a ) − J (b)

a

2. ESPERANZA MATEMÁTICA PARCIAL EN VARIABLES CONTINUAS

Veremos el cálculo de las funciones H(x) y J(x) para los modelos fundamentales y algunas
aplicaciones de interés.

2.1. Distribución Normal
x

(11.8) H(x) = ∫ xf ( x...