espocicion de la profe

OPTIMIZACIÓN Y PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA - SETIEMBRE 2005


PROBLEMAS DEL TEMA 11:
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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1) Para cada una de las funciones siguientes, dar dominio, buscar si existen extremos relativos o absolutos, analizar la curvatura de la función, buscar puntos de inflexión, calcularasíntotas horizontales y verticales y graficar. Dar luego el rango de la función.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)



2) Supongamos que el coste total de fabricación de 20 artículos viene dado por: euros.
a) ¿Cuál es el coste de fabricación de 20 artículos?
b) ¿Cuál es el coste de fabricación del vigésimo artículo?
c) Exprese el coste de fabricación medio por artículo comofunción de x.
d) ¿Para qué valor de x es mínimo el coste medio?
e) ¿Para qué valor de x es el coste medio igual al marginal?


3) Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa:

para
para
siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determínese la producción para obtener el máximo beneficio.


4) La curva de coste total de un artículo es ,donde y representa el coste total y x la cantidad producida. Suponga que las condiciones del mercado indican que deberán producirse entre 0 y 10 unidades (). Se pide:

a) Obtener la curva de coste medio.
b) Estudiar los óptimos relativos de la curva de coste medio.
c) Comparar los óptimos obtenidos con los valores de la función coste medio en los extremos del intervalo de producción que indica elmercado.


5) A una empresa que cuenta con un taller de reparación para la maquinaria que utiliza se le presenta el problema de determinar el número de obreros que constituye la plantilla óptima del taller.

Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste de mantenimiento, obteniéndose los siguientes datos:

I. La reparación de una máquina requiere, por término medio, 3obreros/día.
II. La capacidad del taller permite reparar x máquinas por día. El número medio de máquinas pendientes de reparación que un día cualquiera hay en el taller viene determinado por 10/(x-10).
III. La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de 200u.m./h por obrero.
IV. El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m. por día.

Determine ese número óptimo de obreros.

6) Conel fin de adquirir una empresa se efectúa un estudio de la estructura de costes totales y de demanda de la misma, obteniéndose:

I. Los costes fijos vienen dados por la función y los costes variables por la función , siendo x las unidades producidas y el coste de la mano de obra.
II. La demanda del mercado viene dada por la función , siendo p el precio de la unidad vendida.

En el supuestode que la empresa coloca en el mercado toda la producción, se pide:

a) El nivel de producción que proporciona el beneficio óptimo.
b) El precio por unidad para ese nivel de producción.
c) La elasticidad de la demanda para el precio que maximiza el ingreso total. Compruébese que el resultado obtenido es independiente de la función de demanda .

7) Una firma de plásticos ha recibido un pedidopara fabricar 8000 tablas especiales de espuma de plástico para entrenamientos de natación. La firma posee 10 máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas de entrenamiento por hora. El coste de adaptación de las máquinas para producir tablas especiales es de 20u.m. por máquina. Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación es completamente automática y puede ser supervisadapor un solo capataz, cuyo salario es de 4,80u.m. por hora.

¿Cuántas de las máquinas deben adaptarse para reducir al mínimo el coste de producción de dichas tablas?


8) Una empresa recibe el encargo de fabricar 10000 piezas, para lo cual pedirá al INEM que le facilite la contratación de un número de trabajadores entre 3 y 13.
Cada pieza del encargo se compone de 100 gramos de hierro y...