EsquemaInteraccionSVD

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INSTRUMENTOS TEÓRICO-PRÁCTICOS PARA EVALUAR EL
ACOPLAMIENTO - INTERACCIÓN

1.1

Introducción

El control descentralizado de sistemas multivariables normalmente se complica
debido a la interacción o el acoplamiento que existe entre las variables de los
procesos a controlar, así como debido a la direccionalidad de estos procesos, esto
es, a su tendencia a responder con una mayor o menorganancia según sea la
relación entre las magnitudes de las entradas aplicadas.
En este capítulo se presentan los más importantes instrumentos matemáticos
utilizados para evaluar de una manera teórica-práctica el acoplamiento en los
sistemas de control. Entre estos elementos se encuentran: las Bandas de
Gershgorin, el Relative Gain Array (RGA), y el Condition Number.
Para la clara exposición de estosconceptos y las propiedades que se derivan de
ellos será necesario en algunos casos dar ciertas definiciones matemáticas
relacionadas a los mismos. En el caso específico del Condition Number se
dedicará previamente una sección a la Descomposición en Valores Singulares
(DVS) ya que es a partir de ésta que se llega a dicho concepto.
Se mostrarán también algunas de las aplicaciones de estas herramientasal estudio
de los sistemas multivariables y a la evaluación de los problemas que se presentan
en el control de los mismos.

30

1.2

Bandas de Gershgorin

Antes de definir las bandas de Gershgorin es necesario tener en claro el concepto
de dominancia diagonal[1] y la definición de los Nyquist arrays[1] los cuales se
presentan a continuación.

1.2.1 Dominancia diagonal
Una matriz racional Qs  dedimensiones m x m es de fila diagonalmente
dominante si:
m

q ii ( s)   q ij ( s)

i  1,  , m

(1.1)

j 1
j i

De igual manera, una matriz racional Qs  de dimensiones m x m es de columna
diagonalmente dominante si:
m

qii ( s)   q ji ( s)

i  1,, m

(1.2)

j 1
j i

Si denominamos ri s  a:
m

ri ( s)   qij ( s)
j 1
j i

m

o

ri ( s)   q ji ( s)

i  1,, m

j 1
j i

Másdiagonal es la matriz compleja Qs  , cuanto menor sea ri s  .

1.2.2 Nyquist arrays

(1.3)

31

El Nyquist array de Gs  (no necesariamente cuadrada) es un conjunto de
gráficos, donde el (i, j)-ésimo gráfico es el lugar de Nyquist de g ij s  ((i, j)-ésimo
elemento de Gs  ). Se hace uso también del inverse Nyquist array, el cual es el
conjunto de gráficos de los lugares de Nyquist, de loselementos de G 1 s  ,
(claramente, el inverse Nyquist array está definido solamente cuando Gs  es
cuadrada).

1.2.3 Círculos y bandas de Gershgorin
La definición de los círculos y las bandas de Gershgoring

se encuentra en el

enunciado del teorema de Gershgorin.

Teorema 1.1 (Teorema de Gershgorin):

Asumimos que Z es una matriz

compleja
de dimensiones m x m. Los autovalores de Z estándentro de los m círculos, cada
uno con centro en zii y radio:
m

z
j 1
j i

ij

,

i  1,, m

(1.4)

que constituye la suma de los módulos de los elementos de la fila i.
Estos también están dentro de la unión de los círculos, cada uno con centro en zii y
radio:

32

m

z
j 1
j i

ji

,

i  1,, m

(1.5)

que constituye la suma de los módulos de los elementos de la columna i.
Luego tenemos que,considerando el Nyquist array de alguna G(s) cuadrada, si
para cada frecuencia , graficamos un círculo con centro en gii(j) (elemento de la
diagonal de G(s)), y de radio:
m

g
j1
j i

ij ( j )

m

o

g

ji

( j )

(1.6)

j1
j i

A cada uno de estos círculos se les llama círculos de Gershgorin, y a la unión de
éstos, bandas de Gershgorin (ilustrados en la Figura 1.1).
Si las bandas deGershgorin de Gs  excluyen el origen, diremos que Gs  es
diagonalmente dominante (fila dominante o columna dominante, ver Figura 1.2).

Figura 1.1: Un Nyquist array con los círculos de Gershgorin[1]

33

Figura 1.2: Bandas de Gershgorin para un sistema que: (a) es diagonalmente
dominante, (b) no es diagonalmente dominante[1]

1.3 ( A estudiarse luego)
( en lo que sigue el orden de las...