Estática y Estabilidad

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
Sean dos vectores P y Q en el espacio vectorial R3. El Producto Vectorial (Producto Cruz) entre P y Q da como resultado un nuevo vector, V, el cual cumple con las siguientes condiciones:
La línea de acción o Dirección de V, es perpendicular al plano que contiene a los vectores P y Q.

La Magnitud de V (o sea, V) es igual al producto de las magnitudes delos vectores P y Q por el seno del ángulo (girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño): V=PQ sen

La Dirección de V, se obtiene a partir de la Regla del Tornillo o de la Regla de la Mano Derecha: cierre su mano derecha de manera que sus dedos estén doblados en el sentido que un movmiento de rotación llevaría al vector P hacia Q; entonces, su dedo pulgar indicaría elSentido de V.










Se dice que P, Q y V (tomados en ese orden) forman una Triada a Mano Derecha o también, una Triada Dextrógira. Por lo anterior, se concluye que ¡el Producto Vectorial NO ESConmutativo!. El producto vectorial entre P y Q se denota mediante P × Q, por ello se le llama también producto cruz.
Ejercicio 1. Calcule el producto vectorial V= PxQ según se muestra en laFigura siguiente.







Solución:
Primero determinamos el ángulo más pequeño entre los vectores P y Q: de la Figura 4 vemos que el ángulo más pequeño entre P y Q es la Suma del ángulo formado por P y el eje Y (20º), 90º (ángulo entre Y y X negativo) y el ángulo entre el eje X negativo y P (30º):
 = 20º+90º+30º = 140º
Magnitud de V: sustituimos valores en la Ecuación V=PQ senV=PQ sen18Nx10NxSen(140º) = 115.70N2

La Dirección y el Sentido del Vector V la obtenemos usándola Regla de la mano derecha o la Regla del Tornillo; obtenemos que la Dirección es perpendicular al papel y el Sentido saliendo del papel.
V = 115.70N2 Dirección: 90º con el papél; Sentido: saliendo de él)
Según el plano que contiene a los vectores P y Q: (el plano X –Y), si el Vector V esperpendicular a este, entonces la Dirección será la del eje Z y el Sentido positivo. Entonces, el producto vectorial V (PxQ) será entonces:
V = 115.70N
Siendo el Vector Unitario en el sentido de positivo del eje Z.

Ejercicio 2. Calcule el producto vectorial V1= Q x P

Ejercicio 3. Calcule el producto vectorial V2 = P x Q cuando el vector P tiene una magnitud de 6N y se encuentra en el planoY Z y que forma un ángulo de 30º con el eje Y(+) y el vector Q que tiene una magnitud de 8N y está sobre el eje Z positivo (Figura 5)








Ejercicio 4. En las Figuras siguientes se muestran el producto vectorial (Figura 6a) y el producto vectorial (Figura 6b). Determine Magnitud, Dirección y Sentido de los productos vectoriales: a) b) c) d) d)










Lamagnitud del Producto vectorial de dos Vectores es igual al Área del Polígono

Sea el producto vectorial de los Vectores P y Q los cuales forman un ángulo , como se muestra en la Figura 7.








Tracemos una línea paralela al Vector Q sobre P y una paralela a P sobre Q partir del punto final de cada uno de ellos como se muestra (Figura 8):









Si trazamos unaperpendicular a P desde la punta del vector Q hasta la paralela , ésta tendrá una magnitud igual a .










La magnitud del Producto Vectorial P x Q se definió como aplicando la propiedad conmutativa obtenemos:
Por lo que el área dentro del polígono generado (rectángulo) será igual a la base Q y altura (Figura 10), que es equivalente al área del romboide formado por P, Q, y (Figura8).







MOMENTO PRODUCIDO POR UNA FUERZA
ALREDEDOR DE UN PUNTO

Antes un ejemplo. Determine el producto vectorial V= P x Q para los vectores que se intersectan en o y cuyas líneas de acción se muestran (la Figura 11).








Por el Principio de Transmisibilidad podemos trasladar o deslizar los vectores de tal forma que quede el vector Q con inicio en el final de P, como se...