Est Teoria0

Escuela Superior de Ingeniería.

Departamento de Estadística e I.O.

Antonio Gámez y Luis M. Marín, 2011

Tema 0: Combinatoria.
Grado en Ingeniería Informática y
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales

Escuela Superior de Ingeniería.
Departamento de Estadística e I.O.

Antonio Gámez y Luis M. Marín, 2011

Tema 0: Combinatoria

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Escuela Superior de Ingeniería.

Departamento deEstadística e I.O.

Antonio Gámez y Luis M. Marín, 2011

Índice del tema: Combinatoria
1.
2.
3.
4.

Introducción
Principios básicos de recuento
Conceptos básicos
Muestras ordenadas: Variaciones. Permutaciones.
a. Sin repetición
b. Con repetición
5. Muestras no ordenadas: Combinaciones. Números combinatorios
a. Sin repetición
b. Con repetición
6. Binomio de Newton

Introducción
“Es importanteaprender métodos y técnicas de investigación, pero sin caer en un
fetichismo metodológico. Un método no es una receta mágica. Más bien es como
una caja de herramientas, en la que se toma la que sirve para cada caso y para
cada momento”
Ander-Egg
La combinatoria es el arte de contar. Mediante la combinatoria podemos calcular cardinales de
conjuntos y enumerar los elementos que satisfacen determinadoscriterios de formación. La
combinatoria trata, ante todo, de contar el número de maneras en que unos objetos dados pueden
organizarse de una determinada forma.
La combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal (1623-1662) y de
Pierre Fermat (1601-1665) sobre la teoría de juegos de azar. Mientras Pascal se encontraba
trabajando en sus Cónicas en 1654, su amigo el caballero deMeré, gran aficionado al juego, le
planteó algunas cuestiones como la siguiente: «En ocho lanzamientos sucesivos de un dado
intenta un jugador obtener un uno, pero el juego se interrumpe después de tres intentos fallidos.
¿En qué proporción ha de ser compensado el jugador?». Pascal escribió a Fermat sobre este
problema y la correspondencia intercambiada contenía los principios para determinar elnúmero
de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y constituyó el punto de partida de la
moderna teoría de las probabilidades.
Aunque ni Pascal ni Fermat expusieron sus resultados por escrito, Huygens publicó en 1657 un
breve tratado titulado “Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados” inspirado en
la correspondencia de estos dos matemáticos franceses. Mientras tanto, Pascalhabía relacionado
el estudio de las probabilidades con el triángulo aritmético de Cardano, al que desde entonces ha

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pasado a llamarse triángulo de Pascal y que tiene gran utilidad en el cálculo de los términos del
desarrollo de la potencia de un binomio.
Eltérmino combinatoria tal y como lo usamos actualmente, fue introducido por Gottfried
Wilhelm von Leibniz (1646-1716) en su Dissertartio de Arte Combinatoria. De gran
importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de Ars Conjectandi (El arte
de conjeturar) de Jakob Bernoulli (1654-1705); este trabajo estaba dedicado a establecer las
nociones básicas de probabilidad. Para esto fuenecesario introducir un buen número de
nociones de combinatoria pues se usaron de manera abundante en las aplicaciones del cálculo
de coeficientes de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se
inicia el establecimiento de la combinatoria como una nueva e independiente rama de las
matemáticas.
Es una rama de utilidad en diversas especialidades, tales como labiología, la física, la química y
la propia matemática, en el desarrollo de la geometría combinatoria, los grafos, programación
lineal y, por supuesto, como ya se ha dicho, en la teoría de las probabilidades y sus aplicaciones
prácticas.
En este tema vamos a exponer las reglas generales de la combinatoria, los principios aditivos y
multiplicativos, las variaciones, permutaciones y combinaciones con...