Estabiliad

1. TEORIA DE ESTABILIDAD DE SISTEMAS DINAMICOS
El Segundo Método de Lyapunov (caso autónomo) Este reporte presenta el método directo de Lyapunov para determinar la estabilidad o estabilidad asintótica de un estado de equilibrio de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias autónomo. El presente trabajo pretende ser una introducción al extenso tema de la teoría de la estabilidad, de granactualidad e importancia hoy en día, a pesar de haber transcurrido casi un siglo en que fuera presentada en términos precisos por el matemático ruso A. M. Lyapunov (1857-1918) en su famosa tesis doctoral publicada por primera vez en 1892, la cual no recibió la debida atención alrededor de 25 años. 1.1. INTRODUCCION Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana.Es de uso común decir: el franco suizo es estable, el peso mexicano es inestable, el estado de salud de fulano es estable, etc. Incluso, en muchas áreas del conocimiento, se maneja dicho concepto de manera intuitiva, es común oír a un ingeniero decir que una estructura es estable o no lo es, un químico dice que una reacción se ha estabilizado, un economista suele decir que el precio de determinadoproducto es estable, un físico diría que el movimiento de una partícula es estable , etc. Pero un concepto que aparece frecuentemente en todas las ciencias, merece ser definido en términos precisos. No fue sino hasta 1892 cuando Lyapunov formuló de manera precisa el concepto de estabilidad. Y ese ha sido el punto de partida para establecer otras variantes de tan importante concepto (¡Y sonbastantes!.) De hecho, no hay concepto en la Matemática que admita tantas acepciones distintas como el de estabilidad y por este motivo, cuando se habla de estabilidad, se debe aclarar a cual de ellas se refiere, para evitar ambigüedades. A manera de ejemplo, consideremos el movimiento de una canica que se mueve bajo la acción de la gravedad sobre diferentes superficies como las mostradas en la figura 1.1.En los cuatro casos, la canica se encuentra en una posición de equilibrio, pero ¿cuál será el movimiento que ejecuta la canica si la sacamos “un poco” de su estado de equilibrio y la soltamos? En los casos (a) y (b) , la canica se mantendrá cerca de su posición de equilibrio oscilando alrededor de ésta, pero además, debido a la fricción, la canica tenderá a ocupar dicha posición de equilibrio. Enambos casos, el equilibrio se dice ser asintóticamente estable, la única diferencia que existe en estos dos casos, es que la “perturbación” que le hagamos a la canica para sacarla de su estado de equilibrio debe ser mucho menor para el caso (b) . Si ahora nos fijamos en la canica del inciso (c) , cualquier “perturbación” por pequeña que ésta sea, la canica se alejará de su posición de equilibrio; eneste caso el equilibrio es inestable. Finalmente, en (d) , para cualquier “perturbación” pequeña de la canica, ésta permanecerá “cerca” de la posición de equilibrio pero no tenderá a acercarse a dicha posición de equilibrio y estaremos en presencia de estabilidad (no asintótica). Como un segundo ejemplo considérese una regla clavada en la pared en las posiciones de equilibrio mostradas en lafigura 1.2, ahí se indican los tres tipos diferentes

Figura 1.1: (a) y (b) Asintóticamente estables, (c) Inestable, (d) Estable (no asintóticamente).

Figura 1.2: (a) Estabilidad asintótica. (b) Estabilidad (no asintótica). (c) Inestabilidad. de posiciones de equilibrio. 1.2. NOTACION i) Bρ es la bola de Rn con centro en el origen, es decir, Bρ = {x ∈ Rn : kxk < ρ, ρ > 0, con k·k la normaeuclideana} (no se excluye el caso ρ = ∞.) ii) f : Bρ → Rn , x 7−→ f (x) es una función de clase C 1 . iii) f (0) = 0. Consideremos la ecuación diferencial autónoma d x (t) = f (x (t)) df la cual por brevedad escribimos x= f (x) en donde x=
· ·

(1.1)

dx y omitimos la variable independiente t. dt La condición (ii) garantiza la existencia y unicidad de las soluciones de 1.1 , mientras que la...