Estabilidad de los sistemas dinamicos

APUNTES DE CONTROL DISTRIBUIDO 05-06 Depto. Ingenier´ de Sistemas y Autom´tica ıa a Universidad de Sevilla

Tema 6

Estabilidad de los sistemas din´micos a
6.1. Introducci´n o

La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas din´micos a la que cabe consia derar como la m´s importante de todas. Ello es debido a que, en la pr´ctica, todo sistema debe a a ser estable. Si unsistema no es estable, normalmente carece de todo inter´s y utilidad. e El estudio de la estabilidad de los sistemas din´micos ocupa un lugar primordial en el an´lisis a a y en la s´ ıntesis de los sistemas realimentados. De hecho, la s´ ıntesis de un sistema de control estar´ presidida por un imperativo de estabilizaci´n del sistema realimentado que resulte. a o El presente cap´ ıtulo se va a dedicaral an´lisis de la estabilidad de los sistemas din´mia a cos, es decir, a establecer criterios que permitan discernir si un determinado sistema din´mico, a dado en una cierta forma de representaci´n matem´tica, es estable o no. En cap´ o a ıtulos posteriores se estudiar´n las modificaciones a introducir en los sistemas din´micos para modificar su a a estabilidad. El estudio de la estabilidad de lossistemas din´micos, se har´ atendiendo a la forma de a a representaci´n adoptada; en este sentido se estudiar´ en primer lugar la estabilidad de los sisteo a mas din´micos dados por su descripci´n externa, y luego se har´ el estudio para la descripci´n a o a o interna de los mismos. Al mismo tiempo se ver´ a lo largo de este cap´ a ıtulo c´mo existen distintas definiciones de o estabilidad, lo que dalugar a distintos criterios, asociados a las distintas definiciones. No obstante, se ver´ que pese a la aparente diversidad de definiciones y criterios, existe una profunda a unidad subyacente en todo el tema.

6.2.

Criterios de estabilidad relativos a la descripci´n o externa

Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que ´ste ser´ estable silas distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos. e a Basados en esta idea intuitiva se puede dar la siguiente definici´n precisa de estabilidad. o Definici´n o

´ 6.ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DINAMICOS

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Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si ante cualquier se˜al de entrada acotada, n es decir, que no alcanza valores infinitos, responde con una se˜al desalida acotada. n Formalmente se dice de una se˜al x(t), definida en un cierto intervalo (t0 , t1 ), que est´ acon a tada en dicho intervalo, si para todo t ε (t0 , t1 ) existe un valor k < ∞ tal que |x(t)| < k De una forma m´s compacta puede decirse que un sistema es estable si, a se˜al de entrada acotada ⇒ se˜al de salida acotada. n n Desde un punto de vista intuitivo esta definici´n deestabilidad es satisfactoria; tiene, o adem´s, la ventaja adicional de que conduce a resultados matem´ticos interesantes, seg´n se a a u ver´ en lo que sigue. a Para el caso de sistemas multivariables esta definici´n es igualmente v´lida, sustituyendo o a las se˜ales de entrada y de salida por los vectores de se˜ales de entrada y de salida. n n En los libros anglosajones a la estabilidad anteriormentedefinida se la llama .estabilidad BIBO”(bounded-input bounded-output). Si se adopta la forma de descripci´n externa dada por la integral de convoluci´n, es decir, si o o la relaci´n entre la se˜al de entrada u(t) y la se˜al de salida y(t) est´ dada por una expresi´n o n n a o de la forma, y(t) =
t −∞

h(t, τ ) u(τ ) dτ

(6.1)

entonces el criterio de estabilidad de un sistema viene dado por elsiguiente teorema. Teorema Un sistema, inicialmente en reposo, representado por una expresi´n de la forma (6.1) es o estable si y s´lo si existe un n´mero finito k tal que para todo t, o u
t −∞

| h(t, τ ) | dτ ≤ k < ∞

(6.2)

Demostraci´n o 1. Suficiencia Se trata de demostrar que si se cumple la condici´n (6.2), entonces ante una se˜al de o n entrada acotada, | u(t) |< k1 para todo t, la...